每日一题[632]双二次纠缠

当$m,a,b$满足什么关系时，椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)和抛物线$y=x^2+m$有四个不同的交点？并证明这四个交点共圆．

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分析与解　联立椭圆方程与抛物线方程，可得

$$b^2(y-m)+a^2y^2=a^2b^2,$$ 因此题意即关于$y$的方程 $$a^2y^2+b^2y-b^2m-a^2b^2=0$$ 有两个大于$m$的解，即 $$\begin{cases} a^2m^2-a^2b^2>0,\\-\dfrac{b^2}{2a^2}>m,\\ \Delta=b^4+4a^2(b^2m+a^2b^2)>0,\end{cases}$$ 化简得$b<2a^2$，且$-a^2-\dfrac{b^2}{4a^2}<m<-b$．

考虑椭圆与抛物线的交点曲线

$$\left(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2\right)+(a^2-b^2)(x^2-y+m)=0,$$ 即 $$x^2+y^2-\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)y-b^2+\left(1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)m=0,$$ 该方程的曲线为圆，因此椭圆与抛物线的四个交点共圆．

备注　事实上，四个交点构成的四边形为等腰梯形，等腰梯形一定有外接圆．