每日一题[628]复数方程

设$a\geqslant 0$，在复数集$\mathcal C$中解方程：$z^2+2|z|=a$．

分析与解　设$z=r(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta)$($r\geqslant 0,\theta\in [0,2\pi)$)，则 $$r^2(\cos 2\theta+{\rm i}\sin 2\theta)+2r=a,$$ 于是 $$\begin{cases} r^2\cos 2\theta+2r=a,\\ r^2\sin 2\theta=0,\end{cases}$$ 情形一　$r=0$．

此时$z=0$，对应$a=0$．

情形二　$\theta=0,\pi$．

此时$r^2+2r=a$，解得$r=\sqrt{a+1}-1$．

情形三　$\theta=\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2$．

此时$-r^2+2r=a$，解得$r=1\pm \sqrt{1-a}$($0\leqslant a\leqslant 1$)．

综上所述，原方程的解为 $$\begin{cases} 0,\pm 2{\rm i},& a=0,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),(1\pm\sqrt{1-a}){\rm i},-(1\pm\sqrt{1-a}){\rm i},&0<a<1,\\ \pm(\sqrt 2-1),\pm {\rm i},&a=1,\\ \pm(\sqrt{a+1}-1),&a>1.\end{cases}$$

说明　本题也可以由$z^2=a-2|z|\in\mathcal{R}$得到$z$为实数或纯虚数，从而求解．需要注意的是$a$的范围不同时，解的个数不同，所以需要分类．