每日一题[623]绝对值有界函数

已知 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\left[a,b\right]$ 上的函数，如果存在常数 $M>0$，对区间 $\left[a,b\right]$ 的任意划分： $$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$ 和式 $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant M$ 恒成立，则称 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的“绝对差有界函数”．

(1) 证明：函数 $f\left(x\right)=\sin x+\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right]$ 上是“绝对差有界函数”；

(2) 证明：函数 $f\left(x\right)= \begin{cases}x\cos\dfrac{\mathrm \pi} {2x},&0<x\leqslant 1,\\ 0,&x=0.\end{cases}$ 不是 $\left[0,1\right]$ 上的“绝对差有界函数”；

(3) 记集合 $$A=\left\{f\left(x\right)\mid \exists k>0, \forall x_1,x_2\in\left[a,b\right], |f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|\leqslant k|x_1-x_2| \right\},$$ 证明集合 $A$ 中的任意函数 $f\left(x\right)$ 为“绝对差有界函数”，并判断 $g\left(x\right)=2016\sin\left(2016x\right)$ 是否在集合 $A$ 中，如果在，请证明并求 $k$ 的最小值；如果不在，请说明理由．

分析与解　(1) 由于$f(x)=\sqrt 2\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right)$在区间$\left[-\dfrac{\pi}2,0\right]$上是单调递增函数，因此 $$\begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|=&\sum\limits_{i=1}^n\left(f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right)\\=&f(0)-f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=2,\end{split}$$ 因此函数 $f\left(x\right)=\sin x+\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right]$ 上是“绝对差有界函数”．

(2) 取方程$\cos\dfrac{\pi}{2x}=0$的一部分解$x=\dfrac{1}{2k+1}$，$k\in\mathcal N^*$，以及方程$\cos\dfrac{\pi}{2x}=\pm 1$的一部分解$x=\dfrac{1}{2k}$，$k\in\mathcal N^*$．于是取$n=2k+1$的划分 $$0,\dfrac{1}{2k+1},\dfrac{1}{2k},\cdots ,\dfrac 13,\dfrac 12,1,$$ 和式 $$\begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|=&2\left(\dfrac 12+\dfrac 14+\cdots +\dfrac 1{2k}\right)\\=&1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac 1k,\end{split}$$ 我们熟知右侧和式无界，因此命题得证．

(3) 集合$A$中的任意函数$f(x)$均满足和式 $$\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant k\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i-x_{i-1}\right|=k(b-a),$$ 因此集合 $A$ 中的任意函数 $f\left(x\right)$ 为“绝对差有界函数”．

考虑到 $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2016\sin(2016 x)}{x}=2016^2,$$ 于是$k$的最小值为$2016^2$，证明如下．对任意$x_1,x_2\in [a,b]$，有 $$\begin{split} &\left|2016\sin (2016 x_1)-2016\sin (2016x_2)\right|\\=&2016\left|2\cos[1008(x_1+x_2)]\sin[1008(x_1-x_2)]\right|\\ \leqslant &2016|2\sin [1008(x_1-x_2)]|\\ \leqslant &2016|2\cdot 1008(x_1-x_2)|\\ =&2016^2|x_1-x_2|,\end{split}$$ 因此$g\left(x\right)=2016\sin\left(2016x\right)$ 在集合 $A$ 中，且$k$ 的最小值为$2016^2$．