每日一题[620]芝麻开花节节高

已知函数

$$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|,$$ 且$f(a^2-3a+2)=f(a-1)$，则满足条件的所有整数$a$的和是______．

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分析与解　函数$f(x)$是偶函数，且在区间

$$(-\infty,-2016],[-2016,-2015],\cdots ,[-2,-1],[-1,1],[1,2],\cdots ,[2015,2016],[2016,+\infty)$$ 上的斜率分别为 $$-4032,-4030,\cdots ,-2,0,2,\cdots ,4030,4032,$$ 因此$f(x)$在$(-\infty,-1]$上单调递减，在$[-1,1]$上恒为常数，在$[1,+\infty)$上单调递增．因此整数$a$满足 $$|a^2-3a+2|=|a-1|$$ 或 $$\begin{cases} a^2-3a+2 \in [-1,1],\\ a-1\in [-1,1],\end{cases}$$ 解得$a=1,2,3$，因此所有的整数$a$的和是$6$．

注　这种由多个绝对值的和构成的函数在每个绝对值对应的零点处斜率都会发生变化，本题中的函数$f(x)$的草图大致为