每日一题[610]化椭为圆

过点$T(2,3)$作直线$l$交椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$于两个不同的点$P,Q$，过$P,Q$作椭圆的切线，两条切线交于点$M$，$O$为原点，已知四边形$POQM$的面积为$4$，求直线$l$的方程．

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分析与解　考虑仿射变换$x=x'$，$y=\dfrac 12y'$，则椭圆变为$x'^2+y'^2=4$，点$T(2,3)$变为$T'(2,6)$．设$P,Q,M$的对应点分别为$P',Q',M'$，则四边形$P'OQ'M'$的面积为$8$．设$O$到直线$P'Q'$的距离为$d$，由射影定理$d\cdot |OM'|=|OP'|^2$，于是$|OM'|=\dfrac 4d$，从而四边形$P'OQ'M'$的面积

$$S=\dfrac 12\cdot |P'Q'|\cdot |OM'|=\sqrt{4-d^2}\cdot \dfrac 4d=8,$$ 解得$d^2=\dfrac 45$．设直线$P'Q':y'=k'(x-2)+6$，则有 $$\dfrac{(2k'-6)^2}{1+k'^2}=\dfrac 45,$$ 解得$k'=2$或$k'=\dfrac{11}{2}$，于是直线$l$的方程为$y=x+1$或$y=\dfrac{11}{4}x-\dfrac 52$．