每日一题[591]一体两面

已知函数$f(x)=\sqrt{10-6\cos x}+\sqrt{\dfrac{17}8-\dfrac{3\sqrt 2}2\sin x}+\sqrt{19-2\sqrt 2\cos x-8\sin x}$，则$f(x)$的最小值为_______．

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分析与解　先对$f(x)$的各个根式进行配方，尝试寻找几何意义：

$$f(x)=\sqrt{(\cos x-3)^2+\sin^2x}+\sqrt{\cos^2x+\left(\sin x-\dfrac{3\sqrt 2}4\right)^2}+\sqrt{(\cos x-\sqrt 2)^2+(\sin x-4)^2},$$ 因此$f(x)$表示单位圆上的点$P(\cos x,\sin x)$到点$A(3,0)$，$B\left(0,\dfrac{3\sqrt 2}4\right)$，$C(\sqrt 2,4)$的距离之和．如图，注意到原点$O$到直线$AB:\dfrac 13x+\dfrac {2\sqrt 2}3y=1$的距离为 $$\dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac 13\right)^2+\left(\dfrac{2\sqrt 2}3\right)^2}}=1,$$ 于是直线$AB$与单位圆相切，设切点为$T$．又$OC$的斜率为$2\sqrt 2$，$AB$的斜率为$-\dfrac{\sqrt 2}4$，于是$OC\perp AB$．又因为$OT\perp AB$，所以$O,C,T$三点共线，从而有$PA+PB\geqslant TA+TB$，且$PC\geqslant TC$，因此所求的最小值为 $$\begin{split} TA+TB+TC=&AB+TC\\=&\dfrac{9\sqrt 2}4+\dfrac{\dfrac 13\cdot \sqrt 2+\dfrac{2\sqrt 2}3\cdot 4-1}{\sqrt{\left(\dfrac 13\right)^2+\left(\dfrac{2\sqrt 2}3\right)^2}}\\=&\dfrac{21\sqrt 2}{4}-1.\end{split}$$ 注　由于$P$点位置被单位圆限定，因此不是费马点问题，此时应该画较为准确的图以便发现图形的特殊性．