已知函数f(x)=√10−6cosx+√178−3√22sinx+√19−2√2cosx−8sinx,则f(x)的最小值为_______.
分析与解 先对f(x)的各个根式进行配方,尝试寻找几何意义:f(x)=√(cosx−3)2+sin2x+√cos2x+(sinx−3√24)2+√(cosx−√2)2+(sinx−4)2,因此f(x)表示单位圆上的点P(cosx,sinx)到点A(3,0),B(0,3√24),C(√2,4)的距离之和.
如图,注意到原点O到直线AB:13x+2√23y=1的距离为1√(13)2+(2√23)2=1,于是直线AB与单位圆相切,设切点为T.又OC的斜率为2√2,AB的斜率为−√24,于是OC⊥AB.又因为OT⊥AB,所以O,C,T三点共线,从而有PA+PB⩾,且PC\geqslant TC,因此所求的最小值为\begin{split} TA+TB+TC=&AB+TC\\=&\dfrac{9\sqrt 2}4+\dfrac{\dfrac 13\cdot \sqrt 2+\dfrac{2\sqrt 2}3\cdot 4-1}{\sqrt{\left(\dfrac 13\right)^2+\left(\dfrac{2\sqrt 2}3\right)^2}}\\=&\dfrac{21\sqrt 2}{4}-1.\end{split} 注 由于P点位置被单位圆限定,因此不是费马点问题,此时应该画较为准确的图以便发现图形的特殊性.