每日一题[580]边角关系

在$\triangle ABC$中，$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$3a^2=c^2-b^2$，则$\tan A\cdot \tan B$的取值范围是______．

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分析与解　根据题意，条件

$$\begin{split} &3a^2=c^2-b^2\\&\Leftrightarrow 3\sin^2A=\sin^2C-\sin^2B\\ &\Leftrightarrow 3\sin^2(C+B)=\sin (C+B)\cdot \sin (C-B) \\ &\Leftrightarrow 3\sin(C+B)=\sin (C-B) \\&\Leftrightarrow 3\sin C\cos B+3\cos C\sin B=\sin C\cos B-\cos C\sin B \\ &\Leftrightarrow \tan C=-2\tan B,\end{split}$$ 于是 $$\tan A\cdot \tan B=-\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\cdot \tan C}\cdot \tan B=\dfrac{\tan^2 B}{1+2\tan^2 B},$$ 结合正切函数的特点知$B\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$时都有对应的三角形，所以$\tan^2 B$的取值范围是正实数全体$\mathcal R^+$，因此所求代数式的取值范围是$\left(0,\dfrac 12\right)$．

注　三角平方差公式$\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\sin^2x-\sin^2y$是三角恒等变换中的一个优美公式．

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另法　由余弦定理得

$$\cos C=\dfrac {a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac {-2a^2}{2ab}=-\dfrac ab=-\dfrac {\sin A}{\sin B},$$ 于是有 $$\cos C\sin B=-\sin A=-\sin(B+C)=-\sin B\cos C-\cos B\sin C,$$ 于是得到$\tan C=-2\tan B$．以下略．