每日一题[575]步步为营

若二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a,b,c>0$)有零点，则$\min\left\{\dfrac {b+c}a,\dfrac{c+a}b,\dfrac{a+b}c\right\}$的最大值为______．

分析与解　不妨令$b=2$，则由二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点可得$ac\leqslant 1$，此时 $$\min\left\{\dfrac {b+c}a,\dfrac{c+a}b,\dfrac{a+b}c\right\}=\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{c+2}a,\dfrac{a+2}c\right\}.$$ 注意到$a,c$对称，不妨设$a\leqslant c$，于是$0<a\leqslant 1$，且有 $$\dfrac{c+2}a\geqslant \dfrac{a+2}c,$$ 从而 $$\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{c+2}a,\dfrac{a+2}c\right\}=\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{a+2}c\right\}.$$ 进而当$c\geqslant 2$时，有 $$\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{a+2}c\right\}=\dfrac{a+2}c\leqslant \dfrac{\dfrac 12+2}2=\dfrac 54,$$ 当$a\leqslant c<2$时，有 $$\min\left\{\dfrac{a+c}2,\dfrac{a+2}c\right\}=\dfrac{a+c}2.$$ 此时若$0<a\leqslant \dfrac 12$，则 $$\dfrac{a+c}2<\dfrac{\dfrac 12+2}{2}=\dfrac 54,$$ 若$\dfrac 12<a<1$，则 $$\dfrac{a+c}2\leqslant \dfrac{a+\dfrac 1a}{2}<\dfrac 54,$$ 综上所述，所求的最大值为$\dfrac 54$．当$a:b:c=1:4:4$或$a:b:c=4:4:1$时取到．

思考与总结　结合代数式的特点，先利用齐次不妨设$b=2$，然后利用形式上的对称适当分类讨论．