已知函数f(x)=(x−1)lnxx,且f(x1)=f(x2),x1≠x2,求证:x1+x2>2.
分析与解 对f(x)求导得f′(x)=x−1+lnxx2.
当x=1时,f(x)取到极小值0,构造二次函数g(x)=(x−1)2,考虑函数f(x)−g(x)=x−1x(lnx−x2+x),
记h(x)=lnx−x2+x,则h′(x)=1x−2x+1=(1−x)(1+2x)x.
所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又因为h(1)=0,所以h(x)⩽0.
从而有当x∈(0,1)时,f(x)>g(x);当x∈(1,+∞)时,f(x)<g(x).
因为f(x1)=f(x2)>0,所以存在x3<1<x4,满足g(x3)=g(x4)=f(x1)=f(x2),
结合上面f(x)与g(x)有大小关系有x3<x1<1<x4<x2,从而有x1+x2>x3+x4=2.
