每日一题[578]构造二次函数

已知函数f(x)=(x1)lnxx,且f(x1)=f(x2)x1x2,求证:x1+x2>2


cover

分析与解 对f(x)求导得f(x)=x1+lnxx2.

x=1时,f(x)取到极小值0,构造二次函数g(x)=(x1)2,考虑函数f(x)g(x)=x1x(lnxx2+x),
h(x)=lnxx2+x,则h(x)=1x2x+1=(1x)(1+2x)x.
所以h(x)(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.又因为h(1)=0,所以h(x)0

从而有当x(0,1)时,f(x)>g(x);当x(1,+)时,f(x)<g(x)

因为f(x1)=f(x2)>0,所以存在x3<1<x4,满足g(x3)=g(x4)=f(x1)=f(x2),

结合上面f(x)g(x)有大小关系有x3<x1<1<x4<x2,从而有x1+x2>x3+x4=2屏幕快照 2016-07-26 下午3.14.54 通过构造二次函数去证明极值点的偏移,常用于解决偏移的中心对应的是极值点的情况,可以有效地减少运算量.所构造的二次函数的极值点与题中函数的极值点重合,且极值相等,通过二次函数的对称性,以及它与函数在极值点两侧的位置关系就可以得到想要的结果.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复