每日一题[74]寻找对称中心

（2012年·四川·理）设函数\(f(x)=2x-\cos x\)，\(\left\{a_n\right\}\)是公差为\(\dfrac{\pi}8\)的等差数列，\(f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_5)=5\pi\)，则\(\left[f(a_3)\right]^2-a_1a_5=\)_______．

正确答案为\(\dfrac{13}{16}\pi^2\)．

解    由于函数\(y=\cos x\)有无数个对称中心\(\left(k\pi+\dfrac{\pi}2,0\right)\)，其中\(k\in\mathcal Z\)，而函数\(y=2x\)也有无数个对称中心\(\left(x_0,2x_0\right)\)，其中\(x_0\in\mathcal R\)．因此可得函数\(f(x)=2x-\cos x\)有无数个对称中心，在题目条件的提示下可以选取一个好用的：\[f\left(\dfrac{\pi}2+x\right)+f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=2\pi.\]

结合\(f(x)\)单调递增，不难得到\[\left\{a_n\right\}:\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}8,\dfrac{\pi}2,\dfrac{5\pi}8,\dfrac{3\pi}4.\]进而可得\[\left[f(a_3)\right]^2-a_1a_5=\pi^2-\dfrac{3}{16}\pi^2=\dfrac{13}{16}\pi^2.\]

下面给出一道练习题．

（2012年·四川·文）设函数\(f(x)=\left(x-3\right)^3+x-1\)，\(\left\{a_n\right\}\)是公差不为\(0\)的等差数列，\(f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_7)=14\)，则\(a_1+a_2+\cdots+a_7=\)_______．

答案是\(21\)    提示    \(f(x)\)关于\((3,2)\)对称．