每日一题[74]寻找对称中心

（2012年·四川·理）设函数$f(x)=2x-\cos x$，$\left\{a_n\right\}$是公差为$\dfrac{\pi}8$的等差数列，$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_5)=5\pi$，则$\left[f(a_3)\right]^2-a_1a_5=$_______．

---

正确答案为$\dfrac{13}{16}\pi^2$．

解    由于函数$y=\cos x$有无数个对称中心$\left(k\pi+\dfrac{\pi}2,0\right)$，其中$k\in\mathcal Z$，而函数$y=2x$也有无数个对称中心$\left(x_0,2x_0\right)$，其中$x_0\in\mathcal R$．因此可得函数$f(x)=2x-\cos x$有无数个对称中心，在题目条件的提示下可以选取一个好用的：

$$f\left(\dfrac{\pi}2+x\right)+f\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=2\pi.$$

结合$f(x)$单调递增，不难得到

$$\left\{a_n\right\}:\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}8,\dfrac{\pi}2,\dfrac{5\pi}8,\dfrac{3\pi}4.$$ 进而可得 $$\left[f(a_3)\right]^2-a_1a_5=\pi^2-\dfrac{3}{16}\pi^2=\dfrac{13}{16}\pi^2.$$

下面给出一道练习题．

（2012年·四川·文）设函数$f(x)=\left(x-3\right)^3+x-1$，$\left\{a_n\right\}$是公差不为$0$的等差数列，$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_7)=14$，则$a_1+a_2+\cdots+a_7=$_______．

答案是$21$    提示    $f(x)$关于$(3,2)$对称．