已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)在区间(0,2)内有两个实根,且{c⩾1,25a+10b+4c⩾4,则a的最小值是_____.
分析与解 设f(x)=ax2+bx+c,则f(0)⩾1,且f(52)⩾1.根据题意,设方程f(x)=0的两根分别为x1,x2,且x1,x2∈(0,2),则f(x)=a(x−x1)(x−x2),进而可得f(0)⋅f(52)=a2⋅x1⋅x2⋅(52−x1)⋅(52−x2)⩽a2⋅(2516)2,因此可得a⩾1625.事实上,取f(x)=1625x(x−52)+1=1625(x−54)2符合题意.因此a的最小值为1625.
更多相关问题见每日一题[289]壮士断腕.
可以直接考虑函数f(x)=ax^2+bx+c的图像。f(0)>=1,f(5/2)>=1,函数开口向上,a最小即抛物线的开口最大。这样很容易得到当f(0)=f(5/2)=1,f(5/4)=0时a取得最小值。
“数形结合”流吗?就是看图说话,不管是否严密.
对的。如果要严密证明的话,这个方法不好;但这个方法很直观,并且实际上也是严密的,只是不易说明其严密性。
可以这样来说明这个方法的严密性:
设方程两根在(0,5/2)。考虑f(0)的值、f(5/2)的值、函数图像与横轴的交点情况。
对于任意一个可能的图像,如果f(0)、f(5/2)的值均大于1,显然可以保持交点情况不变,将图像开口“撑大些”,使得a更小,直到f(0)或f(5/2)达到1。
当f(0)和f(5/2)中一者为1另一者大于1时,可以左右平移图像使对称轴更接近x=5/4,这样就可以按照上面的方法继续“撑大”了,直到对称轴为x=5/4且f(0)=f(5/2)=1。
当交点有两个且f(0)=f(5/2)=1时,可以将图像向上平移(但要保证有交点),这样就可以继续“撑大”,直到只有一个交点。
最后得到的结果中,交点在(0,2)中,符合题意。
题中解答考虑f(0)与f(5/2)的动机也在于此.形可以指明方向,但是接下来的代数论证是大部分初学者很容易忽视的地方.包括你对“严密性”的“说明”,只是论证的思路,并不是论证本身.