已知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$($a>0$)在区间$(0,2)$内有两个实根，且$\begin{cases} c\geqslant 1,\\ 25a+10b+4c\geqslant 4,\end{cases} $则$a$的最小值是_____．
分析与解 设$f(x)=ax^2+bx+c$，则$f(0)\geqslant 1$，且$f\left(\dfrac 52\right)\geqslant 1$．根据题意，设方程$f(x)=0$的两根分别为$x_1,x_2$，且$x_1,x_2\in (0,2)$，则$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2),$$进而可得$$f(0)\cdot f\left(\dfrac 52\right)=a^2\cdot x_1\cdot x_2 \cdot \left(\dfrac 52-x_1\right)\cdot \left(\dfrac 52-x_2\right)\leqslant a^2\cdot \left(\dfrac{25}{16}\right)^2,$$因此可得$a\geqslant \dfrac{16}{25}$．事实上，取$$f(x)=\dfrac{16}{25}x\left(x-\dfrac 52\right)+1=\dfrac {16}{25}\left(x-\dfrac 54\right )^2$$符合题意．因此$a$的最小值为$\dfrac{16}{25}$．
更多相关问题见每日一题[289]壮士断腕．
可以直接考虑函数f(x)=ax^2+bx+c的图像。f(0)>=1，f(5/2)>=1，函数开口向上，a最小即抛物线的开口最大。这样很容易得到当f(0)=f(5/2)=1，f(5/4)=0时a取得最小值。
“数形结合”流吗？就是看图说话，不管是否严密．
对的。如果要严密证明的话，这个方法不好；但这个方法很直观，并且实际上也是严密的，只是不易说明其严密性。
可以这样来说明这个方法的严密性：
设方程两根在（0，5/2）。考虑f（0）的值、f（5/2）的值、函数图像与横轴的交点情况。
对于任意一个可能的图像，如果f（0）、f（5/2）的值均大于1，显然可以保持交点情况不变，将图像开口“撑大些”，使得a更小，直到f（0）或f（5/2）达到1。
当f（0）和f（5/2）中一者为1另一者大于1时，可以左右平移图像使对称轴更接近x=5/4，这样就可以按照上面的方法继续“撑大”了，直到对称轴为x=5/4且f（0）=f（5/2）=1。
当交点有两个且f（0）=f（5/2）=1时，可以将图像向上平移（但要保证有交点），这样就可以继续“撑大”，直到只有一个交点。
最后得到的结果中，交点在（0，2）中，符合题意。
题中解答考虑f(0)与f(5/2)的动机也在于此．形可以指明方向，但是接下来的代数论证是大部分初学者很容易忽视的地方．包括你对“严密性”的“说明”，只是论证的思路，并不是论证本身．