每日一题[562]各有千秋

已知$n\geqslant 5$且$n\in\mathcal N^*$，求证：$\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}>\dfrac{1}{2(n-1)}$．

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分析与证明　考虑到不等式左边的代数结构，可以尝试利用积分放缩与裂项放缩．

积分放缩　如图．

由于函数$y=\dfrac{1}{x^2}$下凸，因此有矩形面积的和(注意最后一个矩形单独计算)大于曲边梯形的面积与小三角形面积之和，即

$$\begin{split} &\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}\\>&\int_{n}^{2n}\dfrac{1}{x^2}{\rm d}x+\dfrac{1}{(2n)^2}+\dfrac 12 \left[\dfrac 1{n^2}-\dfrac{1}{(2n)^2}\right]\\=&\left.\left(-\dfrac 1x\right)\right|_{n}^{2n}+\dfrac 12 \left[\dfrac 1{n^2}+\dfrac{1}{(2n)^2}\right]\\ =&\dfrac 1n-\dfrac{1}{2n}+\dfrac 12 \left[\dfrac 1{n^2}+\dfrac{1}{(2n)^2}\right] \\ =&\dfrac{4n+5}{8n^2},\end{split}$$ 接下来用分析法证明 $$\dfrac{4n+5}{8n^2}\geqslant \dfrac{1}{2(n-1)},$$ 整理即为$n\geqslant 5$，这显然成立．

综上所述，原不等式得证．

注　在积分放缩中，利用函数的凹凸性提高积分放缩的精度．

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裂项放缩　考虑将$\dfrac{1}{n^2}$裂项放缩为

$$\begin{split} \dfrac{1}{n^2}\geqslant &\dfrac{1}{(n-\lambda)(n+1-\lambda)}\\=&\dfrac{1}{n-\lambda}-\dfrac{1}{n+1-\lambda}, \end{split}$$ 则不等号成立的条件为 $$n^2\leqslant (n-\lambda)(n+1-\lambda),$$ 即 $$\ n\geqslant \dfrac{\lambda(1-\lambda)}{1-2\lambda},\lambda<\dfrac 12,$$ 此时有 $$\begin{split} &\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}\\>&\dfrac{1}{n-\lambda}-\dfrac{1}{2n+1-\lambda}\\=&\dfrac{n+1}{(n-\lambda)(2n+1-\lambda)}, \end{split}$$ 我们希望 $$\dfrac{n+1}{(n-\lambda)(2n+1-\lambda)}\geqslant \dfrac{1}{2(n-1)},$$ 即 $$n\geqslant \dfrac{2-\lambda(1-\lambda)}{3\lambda -1},\lambda >\dfrac 13,$$ 当$n\geqslant 5$时，对$\lambda$的要求是 $$\begin{cases} \lambda^2-11\lambda +5\geqslant 0,\\ \lambda^2-16\lambda +7\leqslant 0,\end{cases}$$ 即 $$8-\sqrt{57}\leqslant \lambda \leqslant \dfrac{11-\sqrt{101}}{2},$$ 因此取$\lambda=\dfrac{5}{11}$即可．

事实上，$n\geqslant 5$是该方法最好的起点，如图是函数$y=\dfrac {x(1-x)}{1-2x}$与$y=\dfrac {2-x(1-x)}{3x-1}$的图象：

注　在裂项放缩中，通过引入参数对裂项放缩进行了控制．