每日一题[555]倒挂金钟

已知函数$f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$在区间$[0,+\infty)$上既有最大值，又有最小值，则$a$的取值范围是______．

分析与解　当$a=0$时，显然不符合题意．

而当$a\neq 0$时，有 $$f\left(\dfrac {1-a^2}{2a}\right )=0.$$ 当$x\to +\infty$时，有$f(x)\to 0$．对$f(x)$求导得 $$f'(x)=\dfrac {-2(x+a)(ax-1)}{(x^2+1)^2}.$$ 于是当$a>0$时，$f(x)$在$\left(0,\dfrac 1a\right )$上单调递增，在$\left(\dfrac 1a,+\infty\right )$上单调递减，所以$f(x)$有最大值，当 $$f(0)=a^2-1\leqslant 0$$ 时，函数有最小值，解得$0<a\leqslant 1$．

当$a<0$时，有$f(x)$在$(0,-a)$上单调递减，在$(-a,+\infty)$上单调递增，一定有最小值，当 $$f(0)=a^2-1\geqslant 0$$ 时，有最大值，解得$a\leqslant -1$．

综上知，$a\in (-\infty,-1]\cup (0,1]$．

事实上，当$a\neq 0$时，函数$f(x)$为对勾函数（平移后）的倒数．

我们先观察一下对勾函数的图象与它的倒数的图象的关系（注意极值点位置、单调区间以及零点与渐近线位置的对应关系）：

因此$f(x)$的图象如下（$a>0$时，也可能是上图右的形式，不影响$[0,+\infty)$上的图象关系）．

要满足题意只需要 $$\begin{cases} a\neq 0,\\ a\cdot f(0)\leqslant 0,\end{cases}$$ 即 $$\ \begin{cases} a\neq 0,\\ a(a^2-1)\leqslant 0,\end{cases}$$ 解得$a$的取值范围是$(-\infty,-1]\cup (0,1]$．