每日一题[526]投石问路

对任意的实数m,n,当0<n<m<1a时,恒有mnnm>nama成立,则实数a的最小值为_______.


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   先做一些初步估计,必要时再做细致的计算.

a<1时,取m=1,则0<n<1,此时不等式为n>na,显然不成立;

a=1时,有0<n<m<1

法一 题中不等式即1mlnn1nlnm>lnnlnm,

1mln1n1nln1m<ln1nln1m,
也即ln1n1n1<ln1m1m1.
考虑函数f(x)=lnxx1(x>1),其导函数f(x)=ln1x1x+1(x1)2<0,
因此题中不等式恒成立.

法二 题中不等式即m11n>n11m.

因为11n<11m,所以m11n>m11m>n11m.

综上所述,实数a的最小值为1

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