每日一题[526]投石问路

对任意的实数$m,n$，当$0<n<m<\dfrac 1a$时，恒有$\dfrac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{m}}>\dfrac{n^a}{m^a}$成立，则实数$a$的最小值为_______．

解    先做一些初步估计，必要时再做细致的计算．

当$a<1$时，取$m=1$，则$0<n<1$，此时不等式为$n>n^a$，显然不成立；

当$a=1$时，有$0<n<m<1$，

法一　题中不等式即 $$\dfrac 1m\ln n-\dfrac 1n\ln m>\ln n-\ln m,$$ 即 $$\dfrac 1m\ln\dfrac 1n-\dfrac 1n\ln \dfrac 1m<\ln\dfrac 1n-\ln\dfrac 1m,$$ 也即 $$\dfrac {\ln\dfrac 1n}{\dfrac 1n-1}<\dfrac{\ln \dfrac 1m}{\dfrac 1m-1}.$$ 考虑函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{x-1}$($x>1$)，其导函数 $$f'(x)=\dfrac{\ln\dfrac 1x-\dfrac 1x+1}{(x-1)^2}<0,$$ 因此题中不等式恒成立．

法二　题中不等式即 $$m^{1-\frac 1n}>n^{1-\frac 1m}.$$ 因为$1-\dfrac 1n<1-\dfrac 1m$，所以 $$m^{1-\frac 1n}>m^{1-\frac 1m}>n^{1-\frac 1m}.$$

综上所述，实数$a$的最小值为$1$．