对任意的实数m,n,当0<n<m<1a时,恒有m√nn√m>nama成立,则实数a的最小值为_______.
解 先做一些初步估计,必要时再做细致的计算.
当a<1时,取m=1,则0<n<1,此时不等式为n>na,显然不成立;
当a=1时,有0<n<m<1,
法一 题中不等式即1mlnn−1nlnm>lnn−lnm,
即1mln1n−1nln1m<ln1n−ln1m,
也即ln1n1n−1<ln1m1m−1.
考虑函数f(x)=lnxx−1(x>1),其导函数f′(x)=ln1x−1x+1(x−1)2<0,
因此题中不等式恒成立.
法二 题中不等式即m1−1n>n1−1m.
因为1−1n<1−1m,所以m1−1n>m1−1m>n1−1m.
综上所述,实数a的最小值为1.