每日一题[543]估算范围

已知$f(x)=\dfrac ax+\dfrac xa-\left(a-\dfrac 1a\right)\ln x$，求证：存在一个长度大于$1$的闭区间$D$（闭区间$[m,n]$的长度指$n-m$），使得当$a\in D$时，$f(x)$没有零点．

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分析与解    将函数$f(x)$改成写

$$f(x)=\dfrac 1a\left(x+\dfrac{a^2}x-(a^2-1)\ln x\right ),$$ 由于$a$的取值范围必然关于原点对称，且$a\neq 0$，于是只需要考虑$a>0$的情形．

估算法一

第一种情形，当$0<a\leqslant 1$时，此时

$$\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x,$$ 于是 $$x+\dfrac{a^2}x-(a^2-1)\ln x\geqslant x+\dfrac{a^2}x+(1-a^2)\left(1-\dfrac 1x\right)=x+(1-a^2)+\dfrac{2a^2-1}{x},$$ 于是当$\dfrac{\sqrt 2}2\leqslant a\leqslant 1$时符合题意．

第二种情形，当$a>1$时，考虑到

$$x+\dfrac {a^2}x>x,$$ 于是取函数$y=(a^2-1)\ln x$在$x={\rm e}$处的切线，则有 $$(a^2-1)\ln x\leqslant \dfrac{a^2-1}{\rm e}\cdot x,$$ 于是当$1<a\leqslant \sqrt{\rm e+1}$时符合题意．

综上所述，当$a\in\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt{\rm e+1}\right]$时均符合题意，而此区间长度大于$1$，于是原命题得证．

估算法二

函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-a^2)}{ax^2},$$ 于是当$x=a^2$时，函数$f(x)$取得极小值，亦为最小值 $$f(a^2)=\dfrac 1a\big[a^2+1-(a^2-1)\cdot \ln a^2\big].$$ 设 $$g(x)=x+1-(x-1)\cdot\ln x,$$ 则$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\dfrac 1x-\ln x,$$ 因为$g'(x)$单调递减，且 $$g'(1)>0,g'(2)<0,$$ 所以$g(x)$有唯一的零点$m\in(1,2)$，从而函数$g(x)$在$(0,m)$上单调递增，在$(m,+\infty)$上单调递减．

由于

$$g\left(\dfrac 14\right)=\dfrac{5-6\ln 2}4>0,$$ 且 $$g(4)=5-6\ln 2>0,$$ 而区间$\left[\dfrac 12,2\right]$的长度大于$1$，于是原命题得证．

精细的估计

由于

$$\ln x>\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),0<x<1,$$ 于是在估算法二中可以绕开对$\ln 2$的值的估算将$a$的可能的取值区间的下界推进到方程 $$x+1-(x-1)\cdot\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)=0$$ 的较小根的算术平均数$\sqrt{2-\sqrt 3}\approx 0.5176$．

如果采用更好的估计$\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$，那么就需要解一个四次方程，把结果推进到

$$\left[\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{17}-\sqrt{26+10\sqrt{17}}}}2,\dfrac{\sqrt{5+\sqrt{17}+\sqrt{26+10\sqrt{17}}}}2\right],$$ 约为$[0.4805,2.0810]$．直接利用mma得到的结果是$[0.4622,2.1634]$，这个估计已经很好了．