每日一题[542]解三角形中的边与角

2016年江苏省盐城市三模第14题：

在锐角$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且满足$b^2-a^2=ac$，则$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$的取值范围是_______．

着眼于边    作$CD\perp AB$于点$D$．

如图，有 $$\begin{split} b^2-a^2&=(AD^2+CD^2)-(BD^2+CD^2)\\ &=AD^2-BD^2\\ &=AB\cdot (AD-BD),\end{split}$$ 因此$AD-BD=a$，从而$BD=\dfrac{c-a}2$．于是 $$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{AD-BD}{CD}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2-\left(\dfrac{c-a}2\right)^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{-t^2+2t+3}},$$ 其中$t=\dfrac ca$．

考虑到锐角三角形的限制，有 $$\begin{cases} a^2+b^2=2a^2+ac>c^2,\\a^2+c^2>b^2=ac+a^2,\end{cases}$$ 从而解得 $$1<\dfrac ca<2,$$ 于是$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$的取值范围是$\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$．

着眼于角    由正弦定理，得 $$\sin ^2B-\sin ^2A=\sin A\cdot \sin C,$$ 即 $$\sin (B+A)\cdot \sin (B-A)=\sin A\cdot \sin C,$$ 从而 $$\sin (B-A)=\sin A,$$ 因此$B=2A$．结合锐角三角形的条件，有$\dfrac{\pi}3<B<\dfrac{\pi}2$．

另一方面，有 $$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\sin B\cos A-\cos B\sin A}{\sin A\sin B}=\dfrac{\sin (B-A)}{\sin A\sin B}=\dfrac{1}{\sin B},$$ 于是$\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}$的取值范围是$\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right)$．