每日一题[540]顶点弦代换

已知$A,B$分别是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的上顶点和下顶点，$F$为椭圆$E$的右焦点．过$F$作直线$l$分别与椭圆交于$C,D$，与$y$轴交于点$P$．直线$AC$和$BD$交于点$Q$，求证：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$为定值．

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证明    设直线$l$的方程为$x=ty+c$，则点$P$的坐标为$\left(0,-\dfrac ct\right)$．设点$Q$的坐标为$(m,n)$，则

$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=-c\cdot\dfrac nt,$$ 于是只需要求出$n$的值．

设$D(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，根据题意，有

$$\begin{cases} \dfrac{y_1+b}{x_1}=\dfrac{n+b}m,\\ \dfrac{y_2-b}{x_2}=\dfrac{n-b}{m},\end{cases}$$ 于是 $$\dfrac{n+b}{n-b}=\dfrac{x_2(y_1+b)}{x_1(y_2-b)}.$$ 利用顶点弦代换，将椭圆方程改写为 $$x^2=\dfrac{a^2}{b^2}(b+y)(b-y),$$ 从而有 $$\left(\dfrac{n+b}{n-b}\right)^2=\dfrac{x_2^2(b+y_1)^2}{x_1^2(b-y_2)^2}=\dfrac{(b+y_1)(b+y_2)}{(b-y_1)(b-y_2)}=\dfrac{b^2+b(y_1+y_2)+y_1y_2}{b^2-b(y_1+y_2)+y_1y_2}.$$ 联立直线$l$的方程与椭圆$E$的方程，整理得 $$\left(t^2+\dfrac{a^2}{b^2}\right)y^2+2tcy-b^2=0,$$ 从而 $$\left(\dfrac{n+b}{n-b}\right)^2=\dfrac{b^2t^2+a^2-2tbc-b^2}{b^2t^2+a^2+2tbc-b^2}=\left(\dfrac{bt-c}{bt+c}\right)^2.$$ 又$\dfrac{n+b}{n-b}$与$x_1x_2$异号，也即与 $$(ty_1+c)(ty_2+c)=t^2y_1y_2+tc(y_1+y_2)+c^2=\dfrac {a^2(c-bt)(c+bt)}{b^2t^2+a^2}$$ 异号，因此 $$\dfrac{n+b}{n-b}=\dfrac{bt-c}{bt+c},$$ 解得$n=-\dfrac{b^2t}c$，因此 $$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=-c\cdot\dfrac nt=b^2,$$ 为定值．因此原命题得证．