每日一题[527]极值点漂流

设$x>1$，$f(x)=x\ln x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$，$h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$．记$p(x)=f(x)-g(x)$的零点为$x_0$且$h(x_1)=h(x_2)$，比较$2x_0$与$x_1+x_2$的大小．

分析    函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=1+\ln x,$$ 于是函数$f(x)$在$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$上单调递增．函数$g(x)$的导函数 $$g'(x)={\rm e}^{-x}(1-x),$$ 于是函数$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减．画出$f(x)$和$g(x)$的草图，可以猜测$x_1+x_2>2x_0$．

解    根据题意有$\ln x_0={\rm e}^{-x_0}$．接下来我们证明$x_1+x_2>2x_0$．

不妨设$1<x_1<x_0<x_2$．欲证明$x_1+x_2>2x_0$，只需要证明$x_2>2x_0-x_1$．考虑到$x_2$和$2x_0-x_1$均在$g(x)$的单调递减区间，因此只需要 $$g(x_2)<g(2x_0-x_1),$$ 也即 $$f(x_1)<g(2x_0-x_1),$$ 于是只需要证明 $$\forall x_1\in (1,x_0),x_1\ln x_1<(2x_0-x_1){\rm e}^{x_1-2x_0}.$$ 设函数$\varphi(x)={\rm e}^{x-2x_0}\left(\dfrac{2x_0}x-1\right)-\ln x$，则只需要证明该函数在$x\in (1,x_0)$上有$\varphi(x)>0$．

函数$\varphi(x)$的导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-2x_0}}{x^2}\cdot \left[-(x-x_0)^2+x_0(x_0-2)\right]-\dfrac 1x<0,$$ 于是有 $$\varphi(x)>\varphi(x_0)=0,$$ 命题得证．