每日一题[73] 四面体的外接球

已知三棱锥\(P-ABC\)底面是边长为\(2\)的等边三角形，若\(PA=PB=\sqrt 2\)，二面角\(P-BA-C\)的大小为\(60^\circ\)，则三棱锥\(P-ABC\)的外接球半径\(R=\)_______．

正确答案是\(\dfrac{\sqrt{13}}{3}\)．

如图，设\(M\)为\(AB\)的中点，我们在平面\(PMC\)里研究外接球球心\(O\)的位置．

事实上，\(O\)在任何一个面的投影都是这个面的外心，于是\(O\)在底面\(ABC\)上投影的位置是其中心\(Q\)，而在侧面\(PAB\)上投影的位置就是\(M\)（注意到三角形\(PAB\)为直角三角形，\(AB\)为斜边）．

接下来的计算很容易，\(MQ=\dfrac{\sqrt 3}3\)，而\(\angle OMQ=30^\circ\)，因此\(OQ=\dfrac 13\)．进而\[R=OC=\sqrt{OQ^2+QC^2}=\dfrac{\sqrt{13}}3.\]