每日一题[73] 四面体的外接球

已知三棱锥$P-ABC$底面是边长为$2$的等边三角形，若$PA=PB=\sqrt 2$，二面角$P-BA-C$的大小为$60^\circ$，则三棱锥$P-ABC$的外接球半径$R=$_______．

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正确答案是$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$．

如图，设$M$为$AB$的中点，我们在平面$PMC$里研究外接球球心$O$的位置．

事实上，$O$在任何一个面的投影都是这个面的外心，于是$O$在底面$ABC$上投影的位置是其中心$Q$，而在侧面$PAB$上投影的位置就是$M$（注意到三角形$PAB$为直角三角形，$AB$为斜边）．

接下来的计算很容易，$MQ=\dfrac{\sqrt 3}3$，而$\angle OMQ=30^\circ$，因此$OQ=\dfrac 13$．进而

$$R=OC=\sqrt{OQ^2+QC^2}=\dfrac{\sqrt{13}}3.$$