每日一题[513]大胆猜想，小心求证

已知函数$f(x)=10x^2+bx+c$($b,c\in\mathcal Z$)在区间$(1,3)$上有两个不同的零点，求$f(1)\cdot f(3)$的最大值．

解    设$f(x)$的零点分别为$\alpha,\beta$，且$1<\alpha<\beta<3$，则 $$f(x)=10(x-\alpha)(x-\beta),$$ 于是 $$\begin{split} f(1)\cdot f(3)&=10(1-\alpha)(1-\beta)\cdot 10(3-\alpha)(3-\beta)\\ &=100\cdot (\alpha -1)(3-\alpha)\cdot (\beta-1)(3-\beta) \\ &\leqslant 100,\end{split}$$ 其中用到了均值不等式，且等号取得的条件是$\alpha=\beta=2$，于是等号无法取得，从而 $$f(1)\cdot f(3)<100,$$ 结合$f(1),f(3)$均为正整数，可得 $$f(1)\cdot f(3)\leqslant 99.$$

猜想最大值为$99$，接下来尝试构造符合题意的函数．

取$f(x)=10x^2-41x+42$，则有 $$f(1)\cdot f(3)=11\cdot 9=99,$$ 于是所求的最大值为$99$．

注    $f(x)=10x^2-41x+42$是由$f(x)=10(x-2)^2$调整得到的．也可以取$f(x)=10x^2-39x+38$．