已知锐角三角形ABC中一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘,求证:S△BPC:S△CPA:S△APB=sinAsin(A+60∘):sinBsin(B+60∘):sinCsin(C+60∘).
证明 如图作等边三角形ABD,连接PD,由费马点的性质易知C,P,D三点共线.
于是有S△BPCS△CPA=12⋅PC⋅BC⋅sin∠PCB12⋅PC⋅AC⋅sin∠PCA=BCAC⋅sin∠PCBsin∠PCA.
在△ABC中应用正弦定理,有BCAC=sinAsinB;
在△CAD和△CBD中应用正弦定理有CDsin(A+60∘)=ADsin∠ACP,CDsin(B+60∘)=BDsin∠BCP,
因此sin∠PCBsin∠PCA=sin(B+60∘)sin(A+60∘);
综上,有S△BPC:S△CPA=sinAsin(A+60∘):sinBsin(B+60∘),
因此原命题得证.