每日一题[516]费马点

已知锐角三角形ABC中一点P满足APB=BPC=CPA=120,求证:SBPC:SCPA:SAPB=sinAsin(A+60):sinBsin(B+60):sinCsin(C+60).


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证明    如图作等边三角形ABD,连接PD,由费马点的性质易知C,P,D三点共线.

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于是有SBPCSCPA=12PCBCsinPCB12PCACsinPCA=BCACsinPCBsinPCA.

ABC中应用正弦定理,有BCAC=sinAsinB;
CADCBD中应用正弦定理有CDsin(A+60)=ADsinACP,CDsin(B+60)=BDsinBCP,
因此sinPCBsinPCA=sin(B+60)sin(A+60);
综上,有SBPC:SCPA=sinAsin(A+60):sinBsin(B+60),
因此原命题得证.

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