每日一题[515]探索单调性

如图，已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_2$作直线与双曲线右支交于$P,Q$两点，且$PF_1\perp PQ$．记$\lambda =\dfrac{|PQ|}{|PF_1|}$，若$\lambda\in\left[\dfrac {5}{12},\dfrac{4}{3}\right]$，则双曲线离心率的取值范围是_______．

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解    不妨设$a=1$，则$|F_1F_2|=2e$，其中$e$为双曲线的离心率．设$|PF_1|=x$，则$|PQ|=\lambda x$，$|PF_2|=x-2$，$|QF_2|=(\lambda -1)x+2$，$|QF_1|=(\lambda -1)x+4$，其中$x>2$．

根据题意有

$$\begin{cases} x^2+(\lambda x)^2=\left[(\lambda -1)x+4\right]^2,\\ x^2+(x-2)^2=(2e)^2,\end{cases}$$ 整理得 $$\begin{cases} (x^2-4x)\cdot\lambda +4x-8=0,\\ 2e^2=x^2-2x+2,\end{cases}$$ 由第一个式子可得 $$\dfrac 4{\lambda}=\dfrac{4x-x^2}{x-2}=2-x+\dfrac{4}{x-2},$$ 于是随着$\lambda$的增大，$\dfrac 4{\lambda}$减小，而$x$增大，进而离心率$e$增大，因此$e$是关于$\lambda$的单调递增函数．

设$t_0=x-2$，则$t_0$是关于$t$的方程

$$t^2+\dfrac{4}{\lambda}t-4=0$$ 的正根，于是 $$x=-\dfrac 2{\lambda}+2\sqrt{\dfrac{1}{\lambda^2}+1}+2,$$ 因此$x$的取值范围为$\left[\dfrac{12}{5},3\right]$，对应的离心率$e$的取值范围是$\left[\dfrac{\sqrt{37}}5,\dfrac{\sqrt{10}}2\right]$．