每日一题[512]下界争霸战

原题是证明$x^2{\rm e}^x-\ln x>1$，但这样太无趣了，不如改成：

估计函数$f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$的下界．

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公布答案    首先利用mma计算其最小值的近似值：

下面从计算量和误差两个方面对各个方案进行评价．

No.4    $x=0$处对${\rm e}^x$进行切线放缩．

由于${\rm e}^x>x+1$，于是 $$f(x)>g(x)=x^2(x+1)-\ln x,$$ 而$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\dfrac{3x^3+2x^2-1}{x},$$ 因此可以解得极小值点 $$x_0=\dfrac 19\left[-2+\left(\dfrac{227}2-\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}+\left(\dfrac{227}2+\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}\right],$$ 于是可得$g(x)$的最小值为 $$g(x_0)> 1.0646.$$ 这样就得到了$f(x)$的下界$1.0646$．

不满意度：12（算成这样还拿出来．．．）

计算量（8）：解一个三次方程（5），计算一个复杂对数值（3）；误差（4）．

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No.3    $x=1$处对${\rm e}^x$进行切线放缩．

由于${\rm e}^x>{\rm e}x$，于是 $$f(x)>g(x)={\rm e}\cdot x^3-\ln x,$$ 而$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\dfrac{3{\rm e}x^3-1}{x},$$ 因此可以解得极小值点 $$x_0=\left(\dfrac{1}{3{\rm e}}\right)^{1/3},$$ 于是可得$g(x)$的最小值为 $$g(x_0)=\dfrac{\ln 3+2}3>1.0328.$$ 这样就得到了$f(x)$的下界$1.0328$．

不满意度：8（节省了计算量，降低了精度）

计算量（1）：计算一个简单对数值（1）；误差（7）．

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No.2  $x=\dfrac 12$处进行双切线放缩．

由于 $${\rm e}^x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2,$$ 且 $$\ln x\leqslant 2x-1-\ln 2,$$ 于是 $$f(x)\geqslant g(x)=\sqrt{\rm e}x^3+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2x^2-2x+1+\ln 2,$$ 其在$x>0$时的极小值点为 $$x_0=\dfrac{-1+\left(24+\sqrt{\rm e}\right)^{1/2}}6,$$ 因此可得$g(x)$在$x>0$时的最小值为 $$g(x_0)>1.1050.$$ 这样就得到了$f(x)$的下界$1.1050$．

不满意度：6（提高了精度，牺牲了计算量）

计算量（6）：计算一个复杂根式（3），计算一个复杂多项式（2），计算一个简单对数值（1）；误差（0）．

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No.1   $x=0$处对${\rm e}^x$进行二次逼近．

由于${\rm e}^x>1+x+\dfrac {x^2}2$，于是 $$f(x)>g(x)=x^2\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right)-\ln x,$$ 对$g(x)$求导得 $$g'(x)=\dfrac{2x^4+3x^3+x^2-1}x=\dfrac {(x+1)(x^2+x+1)(2x-1)}{x},$$ 于是$g(x)$的极小值点为$x_0=\dfrac 12$，因此可得$g(x)$的极小值为 $$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{13}{32}+\ln 2>1.0994.$$ 这样就得到了$f(x)$的下界$1.0994$．

不满意度：3（计算量精度两不误）

计算量（2）：对一个四次方程进行试根（1），计算一个简单对数值（1）；误差（1）．