每日一题[67] 求解数列的差分法

数列$\left\{a_n\right\}$，$\left\{b_n\right\}$、$\left\{c_n\right\}$满足：

$$\begin{split}b_n&=a_n-a_{n+2},\\c_n&=a_n+2a_{n+1}+3a_{n+2}.\end{split}$$ 若数列$\left\{c_n\right\}$为等差数列，且$b_n\leqslant b_{n+1}$（$n=1,2,3,\cdots$），求证：数列$\left\{a_n\right\}$是等差数列．

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根据题意有

$$c_n-c_{n+2}=b_n+2b_{n+1}+3b_{n+2},$$ 又数列$\left\{c_n\right\}$为等差数列，因此 $$c_n-c_{n+2}=c_{n+1}-c_{n+3},$$ 于是 $$b_n+2b_{n+1}+3b_{n+2}=b_{n+1}+2b_{n+2}+3b_{n+3},$$ 即 $$\left(b_n-b_{n+1}\right)+2\left(b_{n+1}-b_{n+2}\right)+3\left(b_{n+2}-b_{n+3}\right)=0,$$ 结合$b_n\leqslant b_{n+1}$（$n=1,2,3,\cdots$）可得$\left\{b_n\right\}$为常数列．

不妨设$b_n=-2d$，于是数列$\left\{a_n\right\}$的奇数项和偶数项分别构成以$2d$为公差的等差数列，因此只需要证明$a_2-a_1=d$即可．

根据题意，有

$$\begin{split}c_1&=a_1+2a_2+3a_3=4a_1+2a_2+6d,\\c_2&=a_2+2a_3+3a_4=2a_1+4a_2+10d,\\c_3&=a_3+2a_4+3a_5=4a_1+2a_2+18d,\end{split}$$ 而 $$2c_2=c_1+c_3,$$ 于是不难得到 $$a_2-a_1=d,$$

因此数列$\left\{a_n\right\}$是等差数列．