每日一题[476]取等条件

已知$x,y,z>0$，且$\sqrt{\dfrac{1-x}{yz}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{zx}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{xy}}=2$，求$xyz$的最大值．

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分析    等式两边同时乘以$\sqrt{xyz}$，那么代数式的元就集中了，可以考虑用均值不等式去掉根号．猜想$x=y=z$时取得最大值，此时有$x=y=z=\dfrac 34$，利用均值不等式的时候需要调整一下．

解    根据已知，有

$$2\sqrt{xyz}=\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)},$$ 即 $$\dfrac{2}{\sqrt 3}\sqrt{xyz}=\sqrt{\dfrac x3\cdot (1-x)}+\sqrt{\dfrac y3\cdot (1-y)}+\sqrt{\dfrac z3\cdot (1-z)}.$$ 应用均值不等式，有 $$RHS\leqslant \dfrac{3-\dfrac 23(x+y+z)}2\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$ 这样就得到了关于$xyz$的不等式 $$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$ 即 $$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}+(xyz)^{\frac 13}\leqslant \dfrac 32,$$ 注意到左侧关于$xyz$单调递增，因此有 $$xyz\leqslant \dfrac{27}{64},$$ 等号当且仅当$x=y=z=\dfrac 34$时取得．