已知\(\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow b\)是非零向量，构造集合\[P=\left\{\overrightarrow p\left|\overrightarrow p=t\overrightarrow a+\overrightarrow b,t\in\mathcal R\right.\right\}.\]记\(P\)中模最小的向量为\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\)．
（1）对于\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)=t\overrightarrow a+\overrightarrow b\)，求\(t\)的值．（用\(\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow b\)来表示）
（2）证明：\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\perp \overrightarrow a\)；
（3）若\(\left|\overrightarrow a_1\right|=\left|\overrightarrow a_2\right|=1\)且\(\langle \overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2\rangle=\dfrac{\pi}3\)．构造向量序列\(\overrightarrow{a_n}=T\left(\overrightarrow a_{n-2},\overrightarrow a_{n-1}\right)\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)，\(n\geqslant 3\)．请直接写出\(\left|\overrightarrow{a_n}\right|\)的值．
（1）由于\[\left|T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\right|^2=\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a\right)t^2+\left(2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)t+\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b\right),\]于是\[t=-\dfrac{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b}{\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a}.\]
（2）根据（1）的结果，有\[T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\cdot\overrightarrow a=t\overrightarrow a\cdot\overrightarrow a+\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=0,\]因此原命题成立．
（3）如图可得\[\left|\overrightarrow a_n\right|=\begin{cases}1,&n=1,\\\left(\dfrac{\sqrt 3}4\right)^{\frac n2-1},&n\geqslant 2\land n\mid 2\\2\left(\dfrac{\sqrt 3}4\right)^{\frac{n-1}2}&n\geqslant 3\land n\nmid 2.\end{cases}\]
