每日一题[498]去其形，取其意

已知$\triangle ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\sin A,\cos B,\sin C$成等比数列，$\cos A,\sin B,\cos C$成等差数列，求$\cos B$．

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解    积化和差与和差化积

根据已知，有

$$\begin{cases} \cos^2B=\sin A\cdot \sin C=-\dfrac 12\left[\cos(A+C)-\cos (A-C)\right],\\ 2\sin B=\cos A+\cos C=2\cos\dfrac{A+C}2\cos\dfrac{A-C}2.\end{cases}$$ 由第二个式子可得 $$\cos\dfrac{A-C}2=2\cos\dfrac B2,$$ 代入第一个式子，有 $$\cos^2B=-\dfrac 12\left[-\cos B-\left(8\cos^2\dfrac B2-1\right)\right],$$ 即 $$\cos^2B=\dfrac 52\cos B+\dfrac 32,$$ 解得 $$\cos B=-\dfrac 12.$$

替代方案

积化和差与和差化积的重要意义在于将$A,C$表示的式子转化为用$A+C$和$A-C$表示的式子，然后将$A-C$设法消去得到关于$B$的方程，因此可以用本质相同的替代方案绕过使用积化和差与和差化积公式的困难．

设$A=\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac B2+x\right)$，$C=\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac B2-x\right)$，则根据题意有

$$\begin{cases} \cos^2B=\cos\left(\dfrac B2+x\right)\cdot\cos\left(\dfrac B2-x\right),\\ 2\sin B=\sin\left(\dfrac B2+x\right)+\sin\left(\dfrac B2-x\right),\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} \cos ^2B=\cos^2\dfrac B2\cos^2x-\sin^2\dfrac B2\sin^2x,\\ 2\sin B=2\sin\dfrac B2\cos x,\end{cases}$$ 由第二个式子可得 $$\cos x=2\cos\dfrac B2,$$ 于是 $$\cos^2x=4\cos^2\dfrac B2=2+2\cos B,$$ 代入第一个式子，有 $$\cos ^2B=\dfrac{1+\cos B}2\cdot (2+2\cos B)-\dfrac{1-\cos B}2\cdot (-1-2\cos B),$$ 解得 $$\cos B=-\dfrac 12.$$

这种对称的换元方式可以应用于很多利用积化和差与和差化积公式可以快速求解，而需要掩饰的时候，比如

已知$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{6S}{\sqrt 7}$，其中$S$为$\triangle ABC$的面积，求$\sin^2A+\sin^2C$的取值范围．

很容易求得$\cos B=\dfrac 34$，于是设$A=\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac B2+x\right)$，$C=\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac B2-x\right)$，则

$$\begin{split} \sin ^2A+\sin ^2C=&\dfrac {1-\cos 2A}{2}+\dfrac {1-\cos 2C}{2}\\=&1+\dfrac 12\cos(B+2x)+\dfrac 12\cos(B-2x)\\=&1+\cos B\cos{2x}\\=&1+\dfrac 34\cos 2x,\end{split}$$ 其中$2x=C-A\in\left(B-\pi ,\pi -B\right)$，于是$\cos 2x$的取值范围是$\left(-\dfrac 34,1\right]$，因此原代数式的取值范围是$\left(\dfrac{7}{16},\dfrac 74\right]$.