每日一题[475]空间向量显神威

一个正四面体的四个顶点到同一平面的距离分别为$0,1,2,3$，求正四面体的棱长．

解    设正四面体为$ABCD$，且$D,A,B,C$到平面$\alpha$的距离分别为$0,1,2,3$．分别记$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$为$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$，平面$\alpha$的法向量为$\overrightarrow n$，且有$\overrightarrow a,\overrightarrow n$的模分别为$t,s$．考虑到 $$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow c=t^2,$$ 且 $$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=\dfrac 12t^2,$$ 因此设$\overrightarrow n=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+ z\overrightarrow c$,则有 $$s=t\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}.$$

根据$A,B,C$到平面$\alpha$的距离分别为$1,2,3$，可得 $$\begin{cases} \overrightarrow a\cdot \overrightarrow n = \lambda_1 s,\\ \overrightarrow b\cdot \overrightarrow n = \lambda_2 s,\\ \overrightarrow c\cdot \overrightarrow n = \lambda_3 s,\end{cases}$$ 其中$(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$有四种可能 $$(1,2,3),(-1,2,3),(1,-2,3),(1,2,-3).$$

上述方程组即 $$\begin{pmatrix}2&1&1 \\ 1&2&1 \\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \\ z\end{pmatrix}=\dfrac{s}{t^2}\begin{pmatrix}2\lambda_1\\ 2\lambda_2 \\ 2\lambda_3\end{pmatrix},$$ 这样就可以解得 $$\dfrac{t^2}{s}(x,y,z)=(-1,1,3),(-4,2,4),(1,-5,5),(2,4,-6),$$ 进而可以求得 $$t=\sqrt{10},\sqrt{20},\sqrt{26},\sqrt{28},$$ 即 $$t=\sqrt{10},2\sqrt 5,\sqrt{26},2\sqrt 7,$$ 于是正四面体的棱长为$\sqrt{10},2\sqrt 5,\sqrt{26},2\sqrt 7$．

作为练习，大家可以利用这种方法证明：

若正方体的一个顶点在平面$\alpha$内，其余各顶点在平面$\alpha$的同侧，那么与该顶点相邻的三个顶点到平面$\alpha$的距离的平方和为定值，为正方体棱长的平方．