每日一题[442]二进制

2011年高考数学湖南理科第16题（填空压轴题）：

对于 $n\in \mathcal N^*$，将 $n$ 表示为

$$n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+\cdots+a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0,$$ 当 $i=0$ 时，$a_i=1$；当 $1\leqslant i\leqslant k$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$．记 $I(n)$ 为上述表示式中 $a_i$ 为 $0$ 的个数（例如$1=1\times 2^0$，$4=1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0$，故 $I(1)=0$，$I(4)=2$），则

（1）$I(12)=$____；

（2）$\sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=$____．

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答案　（1）$2$；（2）$1093$．

分析　题中相当于写出了 $n$ 的二进制表示，即

$$n=\left(a_0a_1a_2\cdots a_k\right )_2.$$ 对于任意一个数，这种表示存在且唯一，比如正整数$1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots$依次表示成二进制数为 $$(1)_2,(10)_2,(11)_2,(100)_2,(101)_2,(110)_2,(111)_2,(1000)_2,\cdots.$$ 即“逢二进一”，从这个角度去思考第二问中$I(n)$的规律就比较容易入手了．

解　（1）因为

$$12=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0,$$ 故 $I(12)=2$．

（2）在二进制的 $k(k\geqslant 2)$ 位数中，首位为$1$，之后的$k-1$位每个数位中的数都可能为$0$或$1$，所以$k$位数共有$2^{k-1}$个，其中没有 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^0$ 个，有$1$ 个 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^1$ 个，有$2$ 个 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^2$ 个，$\cdots$，有$m$ 个 $0$ 的有 $\mathrm C_{k-1}^m$ 个，$\cdots$，故对所有二进制为 $k$ 位数的数 $n$，贡献的$2^{I(n)}$的和为

$$\begin{split} &\mathrm C_{k-1}^0\times 2^0+\mathrm C_{k-1}^1 \times 2^1+\mathrm C_{k-1}^2 \times 2^2+\cdots+\mathrm C_{k-1}^{k-1} \times 2^{k-1}\\=&(1+2)^{k-1}\\=&3^{k-1}.\end{split}$$ 注意到 $$127=2^7-1=(1111111)_7,$$ 恰好为二进制中的最大的 $7$ 位数，所以 $$\sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=\sum \limits_{k=1}^7{3^{k-1}}=1093.$$