每日一题[465]相对运动

如图，在平面直角坐标系中，$P(6,8)$，四边形$ABCD$为矩形，$AB=16$，$AD=9$，点$A,B$分别在射线$OP$和$Ox$上，求$OD$的最大值．

分析    注意到在矩形$ABCD$运动的过程中$\angle AOB$始终不变，因此可以看作矩形$ABCD$不动，而点$O$在圆弧上运动，如图．

解    在图中，由于$\tan\angle AOB=\dfrac 43$，于是$Q$到弦$AB$的距离为$6$，圆$Q$的半径为$10$．因此$OD$的最大值 $$C_0D=C_0Q+QD=10+\sqrt{(6+9)^2+8^2}=27.$$

注　如果直接考虑矩形的运动，因为$A,B,O$的外接圆半径为$10$，记$M$为其外接圆的圆心，取$CD$的中点$N$，则$MN=6+9=15$，且 $$DM=\sqrt{8^2+15^2}=17$$ 为定值，当点$O,M,D$三点共线时，$OD=OM+MD$有最大值，如下图：

我们可以看出，利用相对运动，将矩形的运动转化成$O$的运动，就使得模型大大简化了．