每日一题[464]斗转星移

已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$O,A$两点处取得极值，其中$O$是坐标原点，$A$在曲线$y=x^2\sin x+x\cos x$($x\in\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2{\pi}}3\right]$)上，则曲线$y=f(x)$的切线的斜率的最大值是_______．

解    根据已知，$f(x)$的导函数$f'(x)=3ax^2+2bx+c$．由于函数$f(x)$在$O$处取得极值，于是 $$f(0)=f'(0)=0,$$ 即$c=d=0$，因此 $$f(x)=ax^3+bx^2.$$ 且由于$A$必然位于第一象限，因此$a<0$．曲线$y=f(x)$的切线的斜率的最大值，即$f'(x)$的最大值，为 $$\max (k)=-\dfrac{b^2}{3a},$$ 因此接下来的任务是建立$\max (k)$与$A$点的联系．不难求得$A$点的坐标为$\left(-\dfrac {2b}{3a},\dfrac{4b^3}{27a^2}\right)$，因此直线$OA$的斜率 $$k_{OA}=-\dfrac{2b^2}{9a}=\dfrac 23\max (k),$$ 于是求只要求出$k_{OA}$的最大值即可．

由于$A$在曲线$y=x^2\sin x+x\cos x$($x\in\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2{\pi}}3\right]$)上，设$A$的横坐标为$x$，则 $$k_{OA}=g(x)=x\sin x+\cos x,$$ 其导函数 $$g'(x)=x\cos x,$$ 于是当$x=\dfrac{\pi}2$时，$k_{OA}$取得最大值为$g\left(\dfrac{\pi}2\right)=\dfrac{\pi}2$，进而可知所求的最大值为$\dfrac{3\pi}4$．