每日一题[472]一叶知秋

已知函数f(x)=lnx+ax+1,若f(x)为单调递增函数,试讨论关于x的方程f(x)=x22x+3的解的个数.


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   f(x)的导函数f(x)=x2+(2a)x+1x(x+1)2,于是f(x)为单调递增函数即x>0,x2+(2a)x+1分离变量可得a\leqslant 4

注意到当a=4时,x=1是方程的解,而此时y=x^2-2x+3取最小值,于是尝试证明LHS\leqslant RHS

根据已知,有\ln x+\dfrac a{x+1}\leqslant x-1+\dfrac 4{x+1}=\dfrac{x^2+3}{x+1},x^2-2x+3-\dfrac{x^2+3}{x+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x+1}\geqslant 0,因此\ln x+\dfrac{a}{x+1}\leqslant x^2-2x+3,等号当且仅当a=4x=1时取得.因此当a=4时,题中方程有1个解;当a<4时,题中方程无解.

事实上,在本题中a=4时的函数图象如图所示,和我们猜想的非常一致.

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