每日一题[472]一叶知秋

已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac a{x+1}$，若$f(x)$为单调递增函数，试讨论关于$x$的方程$f(x)=x^2-2x+3$的解的个数．

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解    $f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x^2+(2-a)x+1}{x(x+1)^2},$$ 于是$f(x)$为单调递增函数即 $$\forall x>0,x^2+(2-a)x+1\geqslant 0,$$ 分离变量可得$a\leqslant 4$．

注意到当$a=4$时，$x=1$是方程的解，而此时$y=x^2-2x+3$取最小值，于是尝试证明$LHS\leqslant RHS$．

根据已知，有

$$\ln x+\dfrac a{x+1}\leqslant x-1+\dfrac 4{x+1}=\dfrac{x^2+3}{x+1},$$ 而 $$x^2-2x+3-\dfrac{x^2+3}{x+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x+1}\geqslant 0,$$ 因此 $$\ln x+\dfrac{a}{x+1}\leqslant x^2-2x+3,$$ 等号当且仅当$a=4$，$x=1$时取得．因此当$a=4$时，题中方程有$1$个解；当$a<4$时，题中方程无解．

事实上，在本题中$a=4$时的函数图象如图所示，和我们猜想的非常一致．