已知函数f(x)=lnx+ax+1,若f(x)为单调递增函数,试讨论关于x的方程f(x)=x2−2x+3的解的个数.
解 f(x)的导函数f′(x)=x2+(2−a)x+1x(x+1)2,于是f(x)为单调递增函数即∀x>0,x2+(2−a)x+1⩾分离变量可得a\leqslant 4.
注意到当a=4时,x=1是方程的解,而此时y=x^2-2x+3取最小值,于是尝试证明LHS\leqslant RHS.
根据已知,有\ln x+\dfrac a{x+1}\leqslant x-1+\dfrac 4{x+1}=\dfrac{x^2+3}{x+1},而x^2-2x+3-\dfrac{x^2+3}{x+1}=\dfrac{x(x-1)^2}{x+1}\geqslant 0,因此\ln x+\dfrac{a}{x+1}\leqslant x^2-2x+3,等号当且仅当a=4,x=1时取得.因此当a=4时,题中方程有1个解;当a<4时,题中方程无解.
事实上,在本题中a=4时的函数图象如图所示,和我们猜想的非常一致.