每日一题[450]取整再取整

已知函数$f(x)=\left[x\left[x\right]\right]$，其中$[x]$表示不大于$x$的最大整数，当$x\in(0,n]$，$n\in\mathcal N^*$时，函数$f(x)$的值域为集合$A_n$，则

（1）集合$A_n$中有____个元素；

（2）若$f(x)=100$，且$x>0$时，则$x$的取值范围是_____．

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正确答案是（1）$\dfrac{n^2-n+4}{2}$；（2）$\left[10,\dfrac {101}{10}\right )$．

分析　记$A_n$的元素个数为$a_n$，取整函数$[x]$本质上是一个分段函数，由整点为分段点，已知函数的定义域求值域时，只需要将定义域分成若干段，分别求值域，寻找到$\{a_n\}$的规律即可；而已知函数值去求自变量的范围时，就需要先根据取整函数的特点去对函数解析式进行转化，估计出$x$的大致范围，确定$[x]$的值后再解相关不等式了．

（1）当$x\in\mathcal{N}^*$时，有

$$f(1)=1,f(2)=4,f(n)=n^2.$$ 当$x\in(0,1)$时，$f(x)=0$恒成立，所以 $$A_1=\{0,1\},a_1=2.$$ 当$x\in(1,2)$时，$[x]=1$，$f(x)=[x\cdot 1]=[x]=1$，所以 $$A_2=\{0,1,4\},a_2=3.$$ 当$x\in(n-1,n)$时，$[x]=n-1$， $$x[x]=(n-1)x\in(n^2-2n+1,n^2-n),$$ 所以此时$f(x)$可以取到 $$(n^2-n)-(n^2-2n+1)-1=n-2$$ 个不同的值，又$f(n)=n^2$，所以 $$a_n-a_{n-1}=n-2+1=n-1.$$ 由累加法可得 $$a_n-a_1=(n-1)+(n-2)+\cdots+1,$$ 于是有$a_n=\dfrac{n^2-n+4}{2}$．

（2）由$[x]$的定义知

$$x-1<[x]\leqslant x.$$ 于是有 $$x[x]-1<f(x)=100\leqslant x[x],$$ 得到 $$100\leqslant x[x]<101,$$

$x>0$时，$y=x[x]$是一个关于$x$的不减的函数，当$x=11$时，$x[x]=121>101$，所以

$$10\leqslant x<11,[x]=10.$$ 于是有 $$f(x)=[10x]=100,$$ 故$100\leqslant 10x<101$，解得$10\leqslant x<\dfrac {101}{10}$．

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注　本题将$f(x)$看成多层复合函数，求这样的函数的值域时，是由自变量开始，由内向外一层层展开，注意先确定自变量的分隔点；而求自变量的范围时，则是从外层开始，由外向内一层层推理，这也处理复合函数的两类问题的常用思考方向．

大家可以思考，当$x<0$时，$f(x)=100$的解集．

此时，$y=x[x]$是一个关于$x$的不增的函数，由

$$f(-10)\leqslant f(x)<f(-11)$$ 知$-11<x\leqslant -10$．当$x\in(-11,-10)$时，$[x]=-11$，有$x[x]=-11x\in[100,101)$，解得 $$x\in\left(-\dfrac {101}{11},-\dfrac {100}{11}\right ],$$ 而$-\dfrac {101}{11}>-10$，故此时没有对应的$x$，故只有$x=-10$．

由于取整函数的特点，已知函数值求自变量也可以结合$f(10)=f(-10)=100$，直接对$x$进行分区间讨论，此时只需讨论区间$(-11,-10),(-10,-9),(10,11)$的情况即可，而在这些区间内，$[x]$的值都是固定的，这是解决取整函数相关问题的一个常用思路．

下面给出一道练习：

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已知$x \in {\mathcal{R}}$ ，用$A\left(x\right)$表示不小于$x$的最小整数．如 $A\left(\sqrt 3\right)= 2$，$A\left(- 1.2\right)= -1$．

（1）若$A\left(2x+ 1\right)= 3$，则$x$的取值范围是_____；

（2）若$x > 0$且$A\left(2x \cdot A\left(x\right)\right)= 200$，则$x$的取值范围是_____．

答案　 $\left(\dfrac 12,1\right]$ ； $\left(\dfrac{199}{20},10\right]$．