每日一题[64] 萌萌的参数方程

已知$MN$是过椭圆$\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}5=1$的左焦点$F$的直线（$M,N$在椭圆上），$A(1,0)$是椭圆长轴上的一个定点．直线$MA$，$NA$分别交椭圆于$P$、$Q$，求证：直线$PQ$与直线$MN$的斜率之比为定值．

 法一

设$M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，$P\left(x_3,y_3\right)$，$Q\left(x_4,y_4\right)$．

由$M$、$F$、$N$三点共线，有 $$\dfrac{y_1}{x_1+2}=\dfrac{y_2}{x_2+2},$$ 化简得 $$x_1y_2-x_2y_1=2\left(y_2-y_1\right).\qquad\cdots (*)$$

直线$MA$的方程为 $$MA:x=\dfrac{x_1-1}{y_1}y+1,$$ 代入椭圆方程中得 $$\dfrac{5\left(x_1-1\right)^2+9y_1^2}{y_1^2}\cdot y^2+\dfrac{10\left(x_1-1\right)}{y_1}\cdot y-40=0,$$ 将$9y_1^2=45-5x_1^2$代入，有 $$\dfrac{5-x_1}{y_1^2}\cdot y^2+\dfrac{x_1-1}{y_1}\cdot y-4=0,$$ 从而 $$y_1\cdot y_3=\dfrac{4y_1}{x_1-5},$$ 于是 $$y_3=\dfrac{4y_1}{x_1-5}.$$

将$y_3$代入直线$MA$的方程，有 $$x_3=\dfrac{5x_1-9}{x_1-5}.$$

同理可得 $$x_4=\dfrac{5x_2-9}{x_2-5},y_4=\dfrac{4y_2}{x_2-5}.$$

因此直线$PQ$的斜率为 $$\dfrac{\dfrac{4y_1}{x_1-5}-\dfrac{4y_2}{x_2-5}}{\dfrac{5x_1-9}{x_1-5}-\dfrac{5x_2-9}{x_2-5}}=\dfrac{-20\left(y_1-y_2\right)-4\left(x_1y_2-x_2y_1\right)}{-16\left(x_1-x_2\right)},$$ 将(*)代入，即得直线$PQ$与直线$MN$的斜率之比为$\dfrac 74$，是定值．

 法二

首先对椭圆的参数方程，有以下常用引理．

设点$A\left(a\cos{2\alpha},b\sin{2\alpha}\right)$，$B\left(b\cos{2\beta},b\sin{2\beta}\right)$，则直线$AB$的方程为 $$AB:y=-\dfrac{b}{a}\cdot \dfrac{1}{\tan\left(\alpha+\beta\right)}x+b\cdot\dfrac{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta},$$ 特别的，若直线$AB$过点$(m,0)$，那么有 $$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{m-a}{m+a}.$$

由此引理，很容易证明并推广本题结论．

最后给出一道练习题．

在平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，$A$是椭圆上位于第一象限内的一点，直线$AF_1$、$AF_2$分别与椭圆交于点$C$、$B$，直线$BF_1$与椭圆交于点$P$，连接$CD$，直线$AD$与$BC$交于点$E$．设直线$AF_2$的斜率为$k$，直线$CD$的斜率为$k'$．

（1）证明：$\overrightarrow{AF_1}\cdot \overrightarrow{AF_2}<2$；

（2）证明：$\dfrac{k'}{k}$为常数；

（3）证明：点$E$在定直线上．