每日一题[466]梅花三弄

已知$O$为锐角三角形$ABC$的外心，$A=\dfrac{\pi}3$，且$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，求$2x-y$的取值范围．

---

解    设$BD$和$CE$为圆$O$的直径，则点$A$在劣弧$DE$上运动，于是

$$\overrightarrow {OA}=(-x)\overrightarrow{OD}+(-y)\overrightarrow{OE},$$ 且$x,y<0$．

方法一

考虑到问题涉及的代数式为$2x-y$，为了利用向量分解的系数和的几何意义（可以参考每日一题[426] 向量分解的系数和），将条件转化为

$$\overrightarrow{OA}=2x\left(-\dfrac 12\overrightarrow{OD}\right)+(-y)\overrightarrow{OE},$$ 此时可知连接向量$-\dfrac 12\overrightarrow{OD}$的终点$F$与向量$\overrightarrow{OE}$的终点$E$的直线$EF$即等系数和线 $$2x-y=1,$$ 如图．

依次作出其余等系数和线，可得$2x-y$的取值范围是$(-2,1)$．

---

方法二

根据题意，有

$$\overrightarrow {OA}^2=\left[(-x)\overrightarrow{OD}+(-y)\overrightarrow{OE}\right]^2,$$ 于是 $$x^2-xy+y^2=1,$$ 且$x,y<0$．

将条件配方，有

$$\left(x-\dfrac 12y\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2y\right)^2=1,$$ 令 $$a=x-\dfrac 12y,b=\dfrac{\sqrt 3}2y,$$ 则所求范围即$2a$的取值范围．根据题意，有 $$a+\dfrac{b}{\sqrt 3}<0,b<0,$$ 规划如图．

不难得到，$a$的取值范围是$\left(-1,\dfrac 12\right)$，因此所求代数式的取值范围是$\left(-2,1\right)$．

---

方法三

根据外心向量表达（可以参考每日一题[9] “奔驰定理”与五心的向量表达），有

$$\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,$$ 于是将已知条件整理为 $$\dfrac{\sqrt 3}2\overrightarrow{OA}-\dfrac{\sqrt 3}2x\overrightarrow{OB}-\dfrac{\sqrt 3}2y\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,$$ 从而可得 $$x=-\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin 2B,y=-\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin 2C.$$

根据题意，有$2C=\dfrac{4\pi}3-2B$．记$2B=\theta$，则$\theta\in\left(\dfrac{\pi}3,\pi\right)$．欲求代数式

$$\begin{split} 2x-y&=-\dfrac{4}{\sqrt 3}\sin 2B+\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin 2C \\ &=-\dfrac{4}{\sqrt 3}\sin \theta+\dfrac{2}{\sqrt 3}\sin\left(\dfrac{4\pi}3-\theta\right) \\ &=-2\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}6\right),\end{split}$$ 由$\theta$的取值范围不难得到$2x-y$的取值范围是$(-2,1)$．