此题为2016年帷幕第二次群测试题:
设非零向量→a,→b满足|→a−→b|=2.设→a与→a−→b的夹角为α,→b与→b−→a的夹角为β,有4cos(α+β)−cos(α−β)+3=0.记→c=2→b−→a,则(→c−→b)⋅→c|→c|的最小值为_______.
解 如图,三角形APB中,→AP=→a,→BP=→b,AB=2,∠BAP=α,∠ABP=β.
由已知条件得4(2cos2α+β2−1)−(2cos2α−β2−1)+3=0,即4cos2α+β2=cos2α−β2,也即2cosα+β2=cosα−β2,两边同乘2sinα+β2,可得2sin(α+β)=sinα+sinβ,根据正弦定理,有PA+PB=2AB=4,于是建立下图的直角坐标系后P在椭圆x24+y23=1上运动(除去长轴端点).
记→CP=→c,则由→c=2→b−→a可得B为线段AC的中点,即C(3,0).所求代数式为→CB在→CP上的投影的最小值.由于BC=2为定值,于是当CP与椭圆相切时,题中代数式取得最小值2cosθ,其中θ=∠PCB.
设直线CP:x−my−3=0,则由直线与椭圆联立的等效判别式可得4+3m2=9,从而tan∠PCB=1|m|=√35,进而2cosθ=2⋅√58=√102,因此所求最小值为√102.
注 一般的,对于椭圆的焦点三角形PF1F2,记∠PF1F2,∠PF2F1分别为α,β,则cosα+β2cosα−β2=e,其中e为椭圆的离心率.
对于双曲线的焦点三角形PF1F2,记∠PF1F2,∠PF2F1分别为α,β,则sinα+β2sin|α−β2|=e,其中e为双曲线的离心率.
这也是题中三角等式的来源.