每日一题[460]离心率的三角表示

此题为2016年帷幕第二次群测试题:

设非零向量a,b满足|ab|=2.设aab的夹角为αbba的夹角为β,有4cos(α+β)cos(αβ)+3=0.c=2ba,则(cb)c|c|的最小值为_______.


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   如图,三角形APB中,AP=aBP=bAB=2BAP=αABP=β

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由已知条件得4(2cos2α+β21)(2cos2αβ21)+3=0,4cos2α+β2=cos2αβ2,也即2cosα+β2=cosαβ2,两边同乘2sinα+β2,可得2sin(α+β)=sinα+sinβ,根据正弦定理,有PA+PB=2AB=4,于是建立下图的直角坐标系后P在椭圆x24+y23=1上运动(除去长轴端点).

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CP=c,则由c=2ba可得B为线段AC的中点,即C(3,0).所求代数式为CBCP上的投影的最小值.由于BC=2为定值,于是当CP与椭圆相切时,题中代数式取得最小值2cosθ,其中θ=PCB

设直线CP:xmy3=0,则由直线与椭圆联立的等效判别式可得4+3m2=9,从而tanPCB=1|m|=35,进而2cosθ=258=102,因此所求最小值为102

   一般的,对于椭圆的焦点三角形PF1F2,记PF1F2,PF2F1分别为α,β,则cosα+β2cosαβ2=e,其中e为椭圆的离心率.

对于双曲线的焦点三角形PF1F2,记PF1F2,PF2F1分别为α,β,则sinα+β2sin|αβ2|=e,其中e为双曲线的离心率.

这也是题中三角等式的来源.

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