此题为2016年帷幕第二次群测试题：
设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2$．设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a -\overrightarrow b$的夹角为$\alpha$，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b- \overrightarrow a$的夹角为$\beta$，有$$4\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha -\beta )+3=0.$$记$\overrightarrow c= 2\overrightarrow b-\overrightarrow a$，则$\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{\left|\overrightarrow c\right|}$的最小值为_______．
解 如图，三角形$APB$中，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow b$，$AB=2$，$\angle BAP=\alpha$，$\angle ABP=\beta$．
由已知条件得$$4\left(2\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2-1\right)-\left(2\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2-1\right)+3=0,$$即$$4\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2=\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2,$$也即$$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2=\cos\dfrac{\alpha-\beta}2,$$两边同乘$2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2$，可得$$2\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta,$$根据正弦定理，有$$PA+PB=2AB=4,$$于是建立下图的直角坐标系后$P$在椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$上运动（除去长轴端点）．
记$\overrightarrow {CP}=\overrightarrow {c}$，则由$\overrightarrow c=2\overrightarrow b-\overrightarrow a$可得$B$为线段$AC$的中点，即$C(3,0)$．所求代数式为$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CP}$上的投影的最小值．由于$BC=2$为定值，于是当$CP$与椭圆相切时，题中代数式取得最小值$2\cos \theta$，其中$\theta=\angle PCB$．
设直线$CP:x-my-3=0$，则由直线与椭圆联立的等效判别式可得$$4+3m^2=9,$$从而$$\tan\angle PCB=\dfrac 1{|m|}=\sqrt{\dfrac 35},$$进而$$2\cos\theta=2\cdot \sqrt{\dfrac 58}=\dfrac{\sqrt {10}}2,$$因此所求最小值为$\dfrac{\sqrt{10}}2$．
注 一般的，对于椭圆的焦点三角形$PF_1F_2$，记$\angle PF_1F_2,\angle PF_2F_1$分别为$\alpha,\beta$，则$$\dfrac{\cos\dfrac{\alpha+\beta}2}{\cos\dfrac{\alpha -\beta}2}=e,$$其中$e$为椭圆的离心率．
对于双曲线的焦点三角形$PF_1F_2$，记$\angle PF_1F_2,\angle PF_2F_1$分别为$\alpha,\beta$，则$$\dfrac{\sin\dfrac{\alpha+\beta}2}{\sin\left|\dfrac{\alpha -\beta}2\right|}=e,$$其中$e$为双曲线的离心率．
这也是题中三角等式的来源．