每日一题[460]离心率的三角表示

此题为2016年帷幕第二次群测试题：

设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2$．设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a -\overrightarrow b$的夹角为$\alpha$，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b- \overrightarrow a$的夹角为$\beta$，有

$$4\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha -\beta )+3=0.$$ 记$\overrightarrow c= 2\overrightarrow b-\overrightarrow a$，则$\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{\left|\overrightarrow c\right|}$的最小值为_______．

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解    如图，三角形$APB$中，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow b$，$AB=2$，$\angle BAP=\alpha$，$\angle ABP=\beta$．

由已知条件得

$$4\left(2\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2-1\right)-\left(2\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2-1\right)+3=0,$$ 即 $$4\cos^2\dfrac{\alpha+\beta}2=\cos^2\dfrac{\alpha-\beta}2,$$ 也即 $$2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2=\cos\dfrac{\alpha-\beta}2,$$ 两边同乘$2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2$，可得 $$2\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta,$$ 根据正弦定理，有 $$PA+PB=2AB=4,$$ 于是建立下图的直角坐标系后$P$在椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$上运动（除去长轴端点）．

记$\overrightarrow {CP}=\overrightarrow {c}$，则由$\overrightarrow c=2\overrightarrow b-\overrightarrow a$可得$B$为线段$AC$的中点，即$C(3,0)$．所求代数式为$\overrightarrow{CB}$在$\overrightarrow{CP}$上的投影的最小值．由于$BC=2$为定值，于是当$CP$与椭圆相切时，题中代数式取得最小值$2\cos \theta$，其中$\theta=\angle PCB$．

设直线$CP:x-my-3=0$，则由直线与椭圆联立的等效判别式可得

$$4+3m^2=9,$$ 从而 $$\tan\angle PCB=\dfrac 1{|m|}=\sqrt{\dfrac 35},$$ 进而 $$2\cos\theta=2\cdot \sqrt{\dfrac 58}=\dfrac{\sqrt {10}}2,$$ 因此所求最小值为$\dfrac{\sqrt{10}}2$．

注    一般的，对于椭圆的焦点三角形$PF_1F_2$，记$\angle PF_1F_2,\angle PF_2F_1$分别为$\alpha,\beta$，则

$$\dfrac{\cos\dfrac{\alpha+\beta}2}{\cos\dfrac{\alpha -\beta}2}=e,$$ 其中$e$为椭圆的离心率．

对于双曲线的焦点三角形$PF_1F_2$，记$\angle PF_1F_2,\angle PF_2F_1$分别为$\alpha,\beta$，则

$$\dfrac{\sin\dfrac{\alpha+\beta}2}{\sin\left|\dfrac{\alpha -\beta}2\right|}=e,$$ 其中$e$为双曲线的离心率．

这也是题中三角等式的来源．