每日一题[454]擒贼先擒王

如图，在棱长为$1$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，若点$E,F$分别为线段$BD_1,CB_1$上的动点，点$G$为底面$ABCD$上的动点，则$EF+EG$的最小值为_______．

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分析与解    解决多个动点的最值问题，通常是先确定一部分点去考虑其他动点的最佳位置，然后调整之前暂时确定的点的位置，去研究整体的最佳状态，这种方法称为局部调整法．

在本题中，当$E$点确定时，最好的$G,F$点分别满足$EG\perp ABCD$以及$EF\perp B_1C$，于是$F$是$B_1C$的中点，且$G$为$E$在$BD$上的投影，如图．

于是只需要将$\triangle D_1FB$绕$BD_1$旋转至与$\triangle BDD_1$共面，然后过$F$作$BD$边上的垂线即得$EF+EG$的最小值．为了方便，我们直接旋转$\triangle D_1C_1B$，如图．

这样就由$\cos\angle DBD_1=\sqrt{\dfrac 23}$得到

$$\cos\angle C_1BD=2\cos^2\angle DBD_1-1=\dfrac 13,$$ 于是 $$FH=\sin\angle C_1BD\cdot FB=\dfrac{2\sqrt 2}3\cdot \dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac 23,$$ 也即$EF+EG$的最小值为$\dfrac 23$．