已知三角形\(ABC\)中，\(\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)，\(\left|\overrightarrow{CP}\right|=\dfrac 12\left|\overrightarrow{AB}\right|=1\)．点\(Q\)是线段\(AB\)上一点，且\(\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\)，则\(\left|\overrightarrow{CQ}\right|\)的取值范围是_______．
根据已知条件，\(CP\)为三角形\(ABC\)的边\(AB\)上的中线，且其长度为\(AB\)的一半．因此三角形\(ABC\)为直角三角形，且\(C\)为直角．
接下来考虑\(\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\)，这个表达式的几何意义为点\(Q\)在线段\(CP\)的垂直平分线上（考虑\(CP\)的长度为定值\(1\)）．
于是问题转化为\(C\)点在以线段\(AB\)为直径的圆（除去\(A\)、\(B\)两点）上运动，求线段\(PC\)的垂直平分线与线段\(AB\)的交点与\(P\)的距离的取值范围，不难得到为\(\left(\dfrac 12,1\right]\)．