每日一题[60] 向量题的图解法

已知三角形$ABC$中，$\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)$，$\left|\overrightarrow{CP}\right|=\dfrac 12\left|\overrightarrow{AB}\right|=1$．点$Q$是线段$AB$上一点，且$\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\dfrac 12$，则$\left|\overrightarrow{CQ}\right|$的取值范围是_______．

 根据已知条件，$CP$为三角形$ABC$的边$AB$上的中线，且其长度为$AB$的一半．因此三角形$ABC$为直角三角形，且$C$为直角．

接下来考虑$\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\dfrac 12$，这个表达式的几何意义为点$Q$在线段$CP$的垂直平分线上（考虑$CP$的长度为定值$1$）．

于是问题转化为$C$点在以线段$AB$为直径的圆（除去$A$、$B$两点）上运动，求线段$PC$的垂直平分线与线段$AB$的交点与$P$的距离的取值范围，不难得到为$\left(\dfrac 12,1\right]$．