每日一题[59] 探寻几何意义

求函数 $$f(x)=\cos x+\sqrt{\cos^2x-4\sqrt{2}\cos x+4\sin x+9}$$ 的最大值与最小值．

 首先对函数$f(x)$进行代数变形，以期挖掘几何意义： $$f(x)=\cos x+\sqrt{\left(\sqrt 2\cos x-2\right)^2+\left(\sin x+2\right)^2}.$$

根号下的部分的几何意义比较明显，即椭圆$\dfrac{m^2}2+n^2=1$上的点$P\left(\sqrt 2\cos x,\sin x\right)$到点$A\left(2,-2\right)$的距离，那么剩下的$\cos x$的几何意义是什么呢？

注意到椭圆的左准线为$x=-2$和$x=2$，离心率$e=\dfrac{\sqrt 2}2$，于是$P$到左焦点的距离为 $$PF_1=\dfrac{\sqrt 2}2\left(\sqrt 2\cos x+2\right)=\cos x+\sqrt 2.$$

因此我们有 $$\begin{split}f(x)&=PF_1+PA-\sqrt 2\\&\geqslant F_1A-\sqrt 2=\sqrt{13}-\sqrt 2.\end{split}$$

另一方面，由椭圆的定义，有 $$\begin{split}f(x)&=\left(2\sqrt 2-PF_2\right)+PA-\sqrt 2\\&=PA-PF_2+\sqrt 2\\&\leqslant AF_2+\sqrt 2=\sqrt 5+\sqrt 2.\end{split}$$

于是函数 $$f(x)=\cos x+\sqrt{\cos^2x-4\sqrt{2}\cos x+4\sin x+9}$$ 的最大值与最小值分别为$\sqrt 5+\sqrt 2$和$\sqrt{13}-\sqrt 2$．

最后，我们用一道高考题作为练习题．

求函数$f(x)=\dfrac{\left|\sin x-1\right|}{\sqrt{3-2\sin x-2\cos x}}$的值域．

参考答案    $\left[0,1\right]$．

提示    $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{1-\cos x}{1-\sin x}\right)^2}}$．