每日一题[57] 交点曲线系

已知圆$x^2+y^2-6y+m=0$和直线$x+2y-3=0$交于$P$、$Q$两点，且以$PQ$为直径的圆过原点，求$m$的值．

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正确的答案是$\dfrac{18}5$．

取圆与直线的交点曲线系

$$x^2+y^2-6y+m+\lambda\left(x+2y-3\right)=0,$$ 其中$\lambda$为参数．

整理上述方程，得

$$\left(x+\dfrac{\lambda}{2}\right)^2+\left(y-3+\lambda\right)^2+m-3\lambda-\dfrac 14\lambda^2-\left(3-\lambda\right)^2=0$$

该圆以$PQ$为直径，于是圆心在直线$x+2y-3=0$上，因此

$$-\dfrac{\lambda}{2}+2\cdot\left(3-\lambda\right)-3=0,$$ 解得 $$\lambda=\dfrac 65.$$

又该圆经过原点$(0,0)$，所以

$$m-3\lambda=0,$$ 进而可得 $$m=\dfrac{18}5.$$