每日一题[489]圆环套圆环

已知点$A$是抛物线$y=\dfrac 12x^2$上的一个动点，过$A$作圆$D:x^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2=r^2$($r>0$)的两条切线，它们分别切圆$D$于$E,F$两点．

（1）当$r=\dfrac 32$，$A$点坐标为$(2,2)$时，求两条切线的方程；

（2）若当$A$在抛物线上（总在圆$D$外部）运动时，直线$EF$都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．

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解    （1）设直线$kx-y-2k+2=0$是过点$A$的圆的切线，则

$$\dfrac{\left|-2k+\dfrac 32\right|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac 32,$$ 解得 $$k=0\lor k=\dfrac{24}{7}.$$ 于是两条切线的方程为$y-2=0$以及$24x-7y-34=0$．

（2）联立抛物线与圆的方程，可得

$$2y+\left(y-\dfrac 12\right)^2=r^2,$$ 该方程无正根，因此$0<r<\dfrac 12$．

设$A\left(m,\dfrac 12m^2\right)$，则直线$EF$的方程为

$$mx+\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12\right)\left(y-\dfrac 12\right)=r^2,$$ 整理得 $$\left(\dfrac 12y-\dfrac 14\right)m^2+xm-\dfrac 12y+\dfrac 14-r^2=0.$$ 无论$m$取何值，直线$EF$都不通过点$(x,y)$等价于这个关于$m$的二次方程无解，即 $$\Delta=x^2+\left(y-\dfrac 12\right)\left(y-\dfrac 12+2r^2\right)<0,$$ 也即 $$x^2+\left(y+r^2-\dfrac 12\right)^2<r^4,$$ 因此所求区域的面积为${\pi}r^4$，取值范围是$\left(0,\dfrac{\pi}{16}\right)$．

另法    

考虑点$(0,t)$到直线$EF$的距离，为

$$\dfrac{\left|\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12\right)\cdot \left(t-\dfrac 12\right)-r^2\right|}{\sqrt{m^2+\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12\right)^2}},$$ 注意到分母为$\dfrac 12m^2+\dfrac 12$，于是可得点$M\left(0,\dfrac 12-r^2\right)$到直线$EF$的距离为定值$r^2$，因此直线$EF$恒为以$M$为圆心，$r^2$为半径的圆的切线．根据直线$EF$倾斜角的任意性，可得圆$M$的面积为所求，以下略．