每日一题[429]两仪生四象

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

已知平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$($x,y\in\mathcal R$)，且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}>0$，$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow{c}>0$．

A．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x>0$，$y>0$

B．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x<0$，$y<0$

C．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x>0$，$y>0$

D．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x<0$，$y<0$

分析    我们知道，对于给定的一组基底，可以类比于平面直角坐标系定义对应的四个“象限”，如图．

其中$\overrightarrow{c}$的终点位于“第一象限”中时满足$x>0$且$y>0$，位于“第二象限”中时满足$x<0$且$y>0$，依次类推．

解    题意即若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角均为锐角或零角．

于是若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqslant 0$，那么$\overrightarrow{c}$的终点必然在“第一象限”；

若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，那么$\overrightarrow{c}$可能在“第一、二、四象限”．

因此正确的答案是 A．

注    讨论过程中所有向量均默认以原点为起点．