每日一题[441]以直代曲

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一道试题：

求证：${\rm e}^x-\ln x > 2.3$．

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解    设函数$f(x)={\rm e}^x-\ln x$，则$f(x)$的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,x>0,$$ 因此方程${\rm e}^x-\dfrac 1x=0$的解为函数$f(x)$的极小值点，可以估计出极小值点约为$0.5$．

方法一    以直代曲

取$y={\rm e}^x$在$x=0.5$处的切线，有

$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^{0.5}(x-0.5)+{\rm e}^{0.5}={\rm e}^{0.5}x+0.5\cdot{\rm e}^{0.5},$$ 取$y=\ln x$斜率为${\rm e}^{0.5}$的切线，切点横坐标为${\rm e}^{-0.5}$，于是有 $$\ln x\leqslant {\rm e}^{0.5}(x-{\rm e}^{-0.5})-0.5={\rm e}^{0.5}x-1.5,$$ 因此 $${\rm e}^x-\ln x\geqslant 0.5\cdot {\rm e}^{0.5}+1.5.$$

由于${\rm e}>2.56$，于是${\rm e}^{0.5}>1.6$，从而

$${\rm e}^{0.5}+1.5>2.3.$$

事实上，这个极小值的近似值约为$2.33037$，我们得到的下界约为$2.32436$，两者只相差约$0.006$，已经相当精确了．

方法二    极值点估计

虽然无法直接求出极小值点，但是可以利用求极值点的方程进行估计（by 呼市学大张老师）．

显然方程${\rm e}^x-\dfrac  1x=0$的解唯一，设为$m$，则

$${\rm e}^m= \dfrac 1m,\ln m=-m,$$ 从而$f(x)$的极小值，亦为最小值为 $$f(m)={\rm e}^m-\ln m=\dfrac 1m+m.$$ 当$x\in (0,1)$时，有$\ln x>\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$，于是 $$m=-\ln m<-\dfrac 12\left(m-\dfrac 1m\right),$$ 从而$0<m<\dfrac{1}{\sqrt 3}$，因此 $$f(m)=\dfrac 1m+m>\sqrt 3+\dfrac{1}{\sqrt 3}>2.3.$$

注    该极值点即欧米加常数$\Omega$(Omega constant，$\approx 0.5671$)，是超越方程$x{\rm e}^x=1$的实数解，满足

$$\Omega+\ln \Omega=0,\Omega=u^{u^{u^{\cdots }}},$$ 其中$u=\dfrac 1{\rm e}$，被称为在指数函数中的黄金比例．参见百度词条“欧米加常数”．

最后附上2016年东三省高三数学联考压轴题的最后一问作为练习：

证明：当$x>0$时，${\rm e}^x+(1-{\rm e})x-x\ln x-1\geqslant 0$．

提示    取函数$y=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}$和$y=\ln x$在$x=1$处的切线．