这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一道试题:
求证:ex−lnx>2.3.
解 设函数f(x)=ex−lnx,则f(x)的导函数f′(x)=ex−1x,x>0,因此方程ex−1x=0的解为函数f(x)的极小值点,可以估计出极小值点约为0.5.
方法一 以直代曲
取y=ex在x=0.5处的切线,有ex⩾e0.5(x−0.5)+e0.5=e0.5x+0.5⋅e0.5,取y=lnx斜率为e0.5的切线,切点横坐标为e−0.5,于是有lnx⩽e0.5(x−e−0.5)−0.5=e0.5x−1.5,因此ex−lnx⩾0.5⋅e0.5+1.5.
由于e>2.56,于是e0.5>1.6,从而e0.5+1.5>2.3.
事实上,这个极小值的近似值约为2.33037,我们得到的下界约为2.32436,两者只相差约0.006,已经相当精确了.
方法二 极值点估计
虽然无法直接求出极小值点,但是可以利用求极值点的方程进行估计(by 呼市学大张老师).
显然方程ex−1x=0的解唯一,设为m,则em=1m,lnm=−m,从而f(x)的极小值,亦为最小值为f(m)=em−lnm=1m+m.当x∈(0,1)时,有lnx>12(x−1x),于是m=−lnm<−12(m−1m),从而0<m<1√3,因此f(m)=1m+m>√3+1√3>2.3.
注 该极值点即欧米加常数Ω(Omega constant,≈0.5671),是超越方程xex=1的实数解,满足Ω+lnΩ=0,Ω=uuu⋯,其中u=1e,被称为在指数函数中的黄金比例.参见百度词条“欧米加常数”.
最后附上2016年东三省高三数学联考压轴题的最后一问作为练习:
证明:当x>0时,ex+(1−e)x−xlnx−1⩾0.
提示 取函数y=ex−1x和y=lnx在x=1处的切线.