每日一题[441]以直代曲

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一道试题:

求证:exlnx>2.3


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   设函数f(x)=exlnx,则f(x)的导函数f(x)=ex1x,x>0,因此方程ex1x=0的解为函数f(x)的极小值点,可以估计出极小值点约为0.5

方法一    以直代曲

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y=exx=0.5处的切线,有exe0.5(x0.5)+e0.5=e0.5x+0.5e0.5,y=lnx斜率为e0.5的切线,切点横坐标为e0.5,于是有lnxe0.5(xe0.5)0.5=e0.5x1.5,因此exlnx0.5e0.5+1.5.

由于e>2.56,于是e0.5>1.6,从而e0.5+1.5>2.3.

事实上,这个极小值的近似值约为2.33037,我们得到的下界约为2.32436,两者只相差约0.006,已经相当精确了.

方法二    极值点估计

虽然无法直接求出极小值点,但是可以利用求极值点的方程进行估计(by 呼市学大张老师).

显然方程ex1x=0的解唯一,设为m,则em=1m,lnm=m,从而f(x)的极小值,亦为最小值为f(m)=emlnm=1m+m.x(0,1)时,有lnx>12(x1x),于是m=lnm<12(m1m),从而0<m<13,因此f(m)=1m+m>3+13>2.3.

    该极值点即欧米加常数Ω(Omega constant,0.5671),是超越方程xex=1的实数解,满足Ω+lnΩ=0,Ω=uuu,其中u=1e,被称为在指数函数中的黄金比例.参见百度词条“欧米加常数”.

最后附上2016年东三省高三数学联考压轴题的最后一问作为练习:

证明:当x>0时,ex+(1e)xxlnx10

提示    取函数y=ex1xy=lnxx=1处的切线.

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