编者按 本文作者为赵晚龙，由meiyun编辑，原每日一题地址为每日一题[279]运动中的规律探索．原题的两种方法都是从边界情况入手，本文的解法侧重于直接求出参数范围，通过选择合适的面积公式简化计算．
2013年全国高考数学新课标II卷理科第12题（选择压轴题）：
已知点\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，\(C(0,1)\)，直线\(y=ax+b\)（$a>0$）将\(\triangle ABC\)分割为面积相等的两部分，则\(b\)的取值范围是( )
A．\((0,1)\)
B．\(\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right)\)
C．\(\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 13\right]\)
D．\(\left[\dfrac 13,\dfrac 12\right)\)
正确答案是B．
解 易知直线$l$：$y=ax+b$与$\triangle ABC$交点不可能同时在边$AC$和边$AB$上，下面分两种情况来考虑.
①直线$l$与边$AB$和$BC$分别交于$M,N$，交$y$轴于$F$点，则$b=OF$，连接$CM$，$ON$．如图：
由$l$平分$\triangle ABC$的面积得$S_{\triangle CNF}=S_{\triangle OFM}$，从而有$S_{\triangle ONC}=S_{\triangle ONM}$，所以$ON\parallel CM$．于是有\[\dfrac{OF}{FC}=\dfrac{ON}{MC}=\dfrac{OB}{BM},\]即\(\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{BM}\)，解得\[b=\dfrac{1}{1+BM}.\]显然 $1<BM\leqslant 2$，所以$\dfrac{1}{3}\leqslant b<\dfrac{1}{2}$．
②直线$l$与边$AC$和$BC$分别交于$D,E$，交$y$轴于$F$点，如图：
则$b=OF$．由$a>0$ 得 \[0<CE<CD\leqslant\sqrt{2}.\]由$$S_{\triangle CDE}=\dfrac{1}{2}CD\cdot CE=\dfrac {1}{2}$$得$1=CD\cdot CE<CD^2$，所以\[1<CD\leqslant\sqrt{2}.\]因为\[\begin{split} S_{\triangle CDE}&=S_{\triangle CDF}+S_{\triangle CEF}\\&=\dfrac12 (CD+CE)\cdot CF\cdot\sin 45^\circ\\&=\dfrac 12,\end{split} \]故\[\begin{split} \dfrac{1}{CF\cdot\sin45^\circ}&={CD+CE}\\&= CD+\dfrac{1}{CD}\in\left(2,\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right],\end{split} \]所以\(\dfrac{2}{3}\leqslant CF<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，从而得到\[ 1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<b\leqslant\dfrac{1}{3}.\]综上所述，\[b\in\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{2}\right).\]