每日一题[279]的另解

编者按　本文作者为赵晚龙，由meiyun编辑，原每日一题地址为每日一题[279]运动中的规律探索．原题的两种方法都是从边界情况入手，本文的解法侧重于直接求出参数范围，通过选择合适的面积公式简化计算．

2013年全国高考数学新课标II卷理科第12题（选择压轴题）：

 已知点$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$，直线$y=ax+b$（$a>0$）将$\triangle ABC$分割为面积相等的两部分，则$b$的取值范围是(   )

 A．$(0,1)$ 

B．$\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right)$ 

C．$\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 13\right]$ 

D．$\left[\dfrac 13,\dfrac 12\right)$

正确答案是B．

解　易知直线$l$：$y=ax+b$与$\triangle ABC$交点不可能同时在边$AC$和边$AB$上，下面分两种情况来考虑.

①直线$l$与边$AB$和$BC$分别交于$M,N$，交$y$轴于$F$点，则$b=OF$，连接$CM$，$ON$．如图：

由$l$平分$\triangle ABC$的面积得$S_{\triangle CNF}=S_{\triangle OFM}$，从而有$S_{\triangle ONC}=S_{\triangle ONM}$，所以$ON\parallel CM$．于是有 $$\dfrac{OF}{FC}=\dfrac{ON}{MC}=\dfrac{OB}{BM},$$ 即$\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{BM}$，解得 $$b=\dfrac{1}{1+BM}.$$ 显然 $1<BM\leqslant 2$，所以$\dfrac{1}{3}\leqslant b<\dfrac{1}{2}$．

②直线$l$与边$AC$和$BC$分别交于$D,E$，交$y$轴于$F$点，如图：

则$b=OF$．由$a>0$ 得 $$0<CE<CD\leqslant\sqrt{2}.$$ 由 $$S_{\triangle CDE}=\dfrac{1}{2}CD\cdot CE=\dfrac {1}{2}$$ 得$1=CD\cdot CE<CD^2$，所以 $$1<CD\leqslant\sqrt{2}.$$ 因为 $$\begin{split} S_{\triangle CDE}&=S_{\triangle CDF}+S_{\triangle CEF}\\&=\dfrac12 (CD+CE)\cdot CF\cdot\sin 45^\circ\\&=\dfrac 12,\end{split}$$ 故 $$\begin{split} \dfrac{1}{CF\cdot\sin45^\circ}&={CD+CE}\\&=  CD+\dfrac{1}{CD}\in\left(2,\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right],\end{split}$$ 所以$\dfrac{2}{3}\leqslant CF<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，从而得到 $$1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<b\leqslant\dfrac{1}{3}.$$ 综上所述， $$b\in\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{1}{2}\right).$$