每日一题[415]等差数列中的项

无穷等差数列$\{a_n\}$的各项均为整数，首项为$a_1$，公差为$d$，$S_n$是其前$n$项和，$3$，$21$，$15$是其中的三项，给出下列命题中，真命题有$(\qquad)$

①对任意满足条件的$d$，存在$a_1$，使得$99$一定是数列$\{a_n\}$中的一项；

②对任意满足条件的$d$，存在$a_1$，使得$30$一定是数列$\{a_n\}$中的一项；

③存在满足条件的数列$\{a_n\}$，使得对任意的$n\in\mathcal N^*$，$S_{2n}=4S_n$成立．

A．①③

B．①②

C．②③

D．①②③

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答案　A

分析　$3$，$21$，$15$是等差数列中的项，故它们的差$18,6$是$d$的整数倍，故$6$是$d$的整数倍．

命题①正确．因为

$$99-21=78=6\times 13,$$ 而数列$\{a_n\}$为无穷数列，所以一定存在$a_1$，使得$99$一定是数列中的项；事实上，只有$d<0$时，才需要调整$a_1$，使得$a_1\geqslant 99$．

命题②错误．因为

$$30-21=9,$$ 而$9$不能被$6$整除，所以$d=\pm 6$或$d=\pm 2$时，$30$都不是数列中的项．

命题③正确．因为$\{a_n\}$为等差数列，所以$S_{2n}=4S_n$即

$$a_1\cdot 2n+\dfrac{2n(2n-1)}{2}\cdot d=4a_1n+2n(n-1)\cdot d,$$ 整理得 $$d=2a_1.$$ 所以当$d$为偶数$\pm 2,\pm 6$时，存在$a_1=\dfrac d2$满足条件．