每日一题[406]挖掘技术哪家强？

2011年北京西城区高三二模理科第8题（选择压轴题）：

设点$A(1,0)$，$B(2,1)$，如果直线$ax+by=1$与线段$AB$有一个公共点，那么$a^2+b^2$ （　　）

A．最小值为$\dfrac{1}{5}$

B．最小值为$\dfrac{\sqrt 5}{5}$

C．最大值为$\dfrac{1}{5}$

D．最大值为$\dfrac{\sqrt 5}{5}$

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答案　A

法一　挖掘题目中的关键条件

题目中关键条件是直线$ax+by=1$与线段$AB$有一个公共点，这个条件可以转化成点$A,B$在直线$ax+by=1$的两侧或$A,B$中有一点在直线$ax+by=1$上（同时，直线不能与线段重合）．于是我们可以得到$a$，$b$所满足的不等式，从而得到它们的可行域，再将所求代数式转化成可行域中的点$(a,b)$到原点的距离的平方，考虑距离的最值即可．

因为线段$AB$与直线有一个公共点，所以

$$(a-1)(2a+b-1)\leqslant 0.$$ 建立平面直角坐标系$aOb$，则$a$，$b$所满足的可行域如图所示：

故原点到可行域中的点$(a,b)$的距离$\sqrt {a^2+b^2}$有最小值$\dfrac{1}{\sqrt 5}$，从而$a^2+b^2$有最小值$\dfrac{1}{5}$．

法二　挖掘需要研究的代数式的意义

记$ax+by=1$为直线$l$，则直线$l$可以表示不经过原点的任意一条直线，同时$l$与线段$AB$有且只有一个公共点，直接考虑$a^2+b^2$对于$l$的几何意义．

因为原点到直线$l$的距离为

$$d=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ 所以$a^2+b^2=\dfrac {1}{d^2}$，本题转化为思考原点到满足条件的直线$l$的距离$d$的最值情况．显然$d$没有最小值，即$\sqrt{a^2+b^2}$没有最大值，下面考虑$d$的最大值：

若$P$是线段$AB$与直线$l$的公共点，则$d\leqslant OP\leqslant OB$，当$l\perp OP$时第一个等号成立，当$P$与$B$重合时第二个等号成立，如图：

故$d$的最大值为$\sqrt 5$．故$a^2+b^2$有最小值$\dfrac{1}{5}$．