2011年北京西城区高三二模理科第8题（选择压轴题）：
设点\(A(1,0)\)，\(B(2,1)\)，如果直线\(ax+by=1\)与线段\(AB\)有一个公共点，那么\(a^2+b^2\) （ ）
A．最小值为\(\dfrac{1}{5}\)
B．最小值为\(\dfrac{\sqrt 5}{5}\)
C．最大值为\(\dfrac{1}{5}\)
D．最大值为\(\dfrac{\sqrt 5}{5}\)
答案 A
法一 挖掘题目中的关键条件
题目中关键条件是直线\(ax+by=1\)与线段\(AB\)有一个公共点，这个条件可以转化成点\(A,B\)在直线\(ax+by=1\)的两侧或\(A,B\)中有一点在直线$ax+by=1$上（同时，直线不能与线段重合）．于是我们可以得到\(a\)，\(b\)所满足的不等式，从而得到它们的可行域，再将所求代数式转化成可行域中的点\((a,b)\)到原点的距离的平方，考虑距离的最值即可．
因为线段\(AB\)与直线有一个公共点，所以\[(a-1)(2a+b-1)\leqslant 0.\]建立平面直角坐标系$aOb$，则\(a\)，\(b\)所满足的可行域如图所示：
故原点到可行域中的点\((a,b)\)的距离\(\sqrt {a^2+b^2}\)有最小值\(\dfrac{1}{\sqrt 5}\)，从而\(a^2+b^2\)有最小值\(\dfrac{1}{5}\)．
法二 挖掘需要研究的代数式的意义
记$ax+by=1$为直线$l$，则直线$l$可以表示不经过原点的任意一条直线，同时$l$与线段$AB$有且只有一个公共点，直接考虑$a^2+b^2$对于$l$的几何意义．
因为原点到直线$l$的距离为\[d=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}},\]所以$a^2+b^2=\dfrac {1}{d^2}$，本题转化为思考原点到满足条件的直线$l$的距离$d$的最值情况．显然$d$没有最小值，即\(\sqrt{a^2+b^2}\)没有最大值，下面考虑$d$的最大值：
若\(P\)是线段\(AB\)与直线$l$的公共点，则$d\leqslant OP\leqslant OB$，当$l\perp OP$时第一个等号成立，当$P$与$B$重合时第二个等号成立，如图：
故$d$的最大值为$\sqrt 5$．故\(a^2+b^2\)有最小值\(\dfrac{1}{5}\)．