每日一题[405]“形象”转化

有四根长都为$2$的直铁条，若再选两根长都为$a$的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形铁架，则$a$的取值范围是_____．

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正确答案是$(0,\sqrt 6+\sqrt 2)$．

解　这两根长为$a$的铁条可以相交，也可以异面，且只有这两种情况，下面分别考虑：

①如果这两根铁条相交（不妨作为侧棱），则此三棱锥底面固定，有一个侧棱的长度固定为$2$，且此侧棱在底面的投影一定在底面中线所在直线上（想一想为什么？），让该侧棱在经过底面某条边的高且垂直于底面的平面中旋转，如图：

边界情况为这六条铁条共面时，如图：

由余弦定理易求得边界的值为

$$\sqrt{8\pm 4\sqrt 3}=\sqrt 6\pm\sqrt 2.$$ 所以此时$a$的取值范围为 $$(\sqrt 6-\sqrt 2,\sqrt 6+\sqrt 2).$$

②如果这两根铁条异面，可以看成两块等腰的三角板（边长为$2,2,a$）拼在一起（如图加阴影的两个侧面），像两个翅膀扇动起来，使得翅尖连线与等腰三角形的底面边长相等：

不论$a$多小，都可以构成三棱锥，让翅尖互相靠近即可；但$a$不能太大，否则即使翅尖距离达到最大值（即翅展开成平面），翅尖之间的距离仍然小于等于$a$，如图：

所以要构成三棱锥需要满足

$$2\sqrt{4-\left(\dfrac a2\right )^2}>a,$$ 解得$a<2\sqrt 2$．

综合两种情况知，$a$的取值范围为$(0,\sqrt 6+\sqrt 2)$．

注　本题为2010年辽宁高考理科第12题（选择压轴题）．