每日一题[404]秒解平移题

设$\omega>0$，函数$y=\sin\left(\omega x+\dfrac {\pi}{3}\right )+2$的图象向右平移$\dfrac {4\pi}{3}$个单位后与原图象重合，则$\omega$的最小值是____．

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正确答案是$\dfrac 32$．

解　要求$\omega$的最小值，只需要求函数的周期的最大值．一个函数只有平移“周期的整数倍”时才能与原图象重合，所以$\dfrac {4\pi}{3}$为周期的整数倍，从而周期的最大值为$\dfrac {4\pi}{3}$，即$\omega$的最小值满足

$$\dfrac {2\pi}{\omega}=\dfrac {4\pi}{3},$$ 解得$\omega=\dfrac 32$．

本题不需要去平移函数，更不需要去关注是向左还是向右平移，只需要抓住图象重合的本质就可以秒解了．下面给出一道练习，看看你需要几秒：

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已知函数$f(x)=a\sin x-b\cos x$（$a,b$为常数，$a\ne 0$，$x\in\mathcal{R}$）在$x=\dfrac {\pi}{4}$处取得最小值，则函数$g(x)=f\left(\dfrac {3\pi}{4}-x\right )$是____．

A．偶函数且它的图象关于点$(\pi,0)$对称

B．偶函数且它的图象关于点$\left(\dfrac {3\pi}{2},0\right )$对称

C．奇函数且它的图象关于点$\left(\dfrac {3\pi}{2},0\right )$对称

D．奇函数且它的图象关于点$(\pi,0)$对称

答案　D．

提示　不需要求$a,b$，可以直接看出函数$f(x)$的周期为$2\pi$，函数$g(x)$可以由$f(x)$通过平移得到，所以

$$g\left(\dfrac {\pi}{2}\right )=f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )$$ 对应$g(x)$的最小值，而自变量相隔$\dfrac {T}{4}$时对应到对称中心，即$(0,0)$与$(\pi,0)$为它的对称中心，故D正确．