这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目:
对于函数f(x),若存在x0∈Z,满足|f(x0)|⩽14,则称x0为函数f(x)的一个“近零点”.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为_______.
分析 题意即抛物线y=f(x)在平行线y=14和y=−14之间的部分(含边界),在x轴上的投影覆盖4个整点.因此应该从分析方程f(x)=14和方程f(x)=−14的解入手.
解 方程f(x)=14必然有两个不同实根,设为x1,x2,且x1>x2.
第一种情况,方程f(x)=−14没有根或有两个重根.
此时b2−4ac−a⩽0.抛物线在两条平行线间的部分在x轴上的投影为[x2,x1],因此x1−x2=√b2−4ac+aa⩾3,又√b2−4ac+aa⩽√2aa,于是可得√2aa⩾3,从而a⩽29.
第二种情况,方程f(x)=−14有两个不同实根.
不妨设两根分别为x3,x4,且x3>x4,此时b2−4ac−a>0,且抛物线在两条平行线间的部分在x轴上的投影为[x2,x4]∪[x3,x1],因此有{(x1−x2)−(x3−x4)⩾2,x1−x2⩾3,即{√b2−4ac+a+√b2−4ac−a⩽1,b2−4ac⩾9a2−a,进而可得3a+√9a2−2a⩽1,解得29⩽a⩽14.
综上所述,有a⩽14.接下来证明a可以取得14.
我们可以尝试四个“近零点”分别为0,1,2,3,这样可以设f(x)=a(x−32)2+h,则{f(0)=94a+h=14,f(1)=14a+h=−14,解得a=14,h=−516,如图.
这样,我们就得到a的最大值为14.