每日一题[412]“近零点”

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目：

对于函数$f(x)$，若存在$x_0\in\mathcal Z$，满足$\left|f(x_0)\right|\leqslant \dfrac 14$，则称$x_0$为函数$f(x)$的一个“近零点”．已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$)有四个不同的“近零点”，则$a$的最大值为_______．

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分析    题意即抛物线$y=f(x)$在平行线$y=\dfrac 14$和$y=-\dfrac 14$之间的部分（含边界），在$x$轴上的投影覆盖$4$个整点．因此应该从分析方程$f(x)=\dfrac 14$和方程$f(x)=-\dfrac 14$的解入手．

解    方程$f(x)=\dfrac 14$必然有两个不同实根，设为$x_1,x_2$，且$x_1>x_2$．

第一种情况，方程$f(x)=-\dfrac 14$没有根或有两个重根．

此时$b^2-4ac-a\leqslant 0$．抛物线在两条平行线间的部分在$x$轴上的投影为$[x_2,x_1]$，因此

$$x_1-x_2=\dfrac{\sqrt{b^2-4ac+a}}a\geqslant 3,$$ 又 $$\dfrac{\sqrt{b^2-4ac+a}}a\leqslant \dfrac{\sqrt {2a}}{a},$$ 于是可得 $$\dfrac{\sqrt {2a}}{a}\geqslant 3,$$ 从而$a\leqslant \dfrac 29$．

第二种情况，方程$f(x)=-\dfrac 14$有两个不同实根．

不妨设两根分别为$x_3,x_4$，且$x_3>x_4$，此时$b^2-4ac-a>0$，且抛物线在两条平行线间的部分在$x$轴上的投影为$[x_2,x_4]\cup[x_3,x_1]$，因此有

$$\begin{cases} (x_1-x_2)-(x_3-x_4)\geqslant 2,\\ x_1-x_2\geqslant 3,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} \sqrt{b^2-4ac+a}+\sqrt{b^2-4ac-a}\leqslant 1,\\ b^2-4ac\geqslant 9a^2-a,\end{cases}$$ 进而可得 $$3a+\sqrt{9a^2-2a}\leqslant 1,$$ 解得 $$\dfrac 29\leqslant a \leqslant \dfrac 14.$$

综上所述，有$a\leqslant \dfrac 14$．接下来证明$a$可以取得$\dfrac 14$．

我们可以尝试四个“近零点”分别为$0,1,2,3$，这样可以设

$$f(x)=a\left(x-\dfrac 32\right)^2+h,$$ 则 $$\begin{cases} f(0)=\dfrac 94a+h=\dfrac 14,\\ f(1)=\dfrac 14a+h=-\dfrac 14,\end{cases}$$ 解得$a=\dfrac 14$，$h=-\dfrac {5}{16}$，如图．

这样，我们就得到$a$的最大值为$\dfrac 14$．