每日一题[412]“近零点”

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目:

对于函数f(x),若存在x0Z,满足|f(x0)|14,则称x0为函数f(x)的一个“近零点”.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为_______.


cover

分析    题意即抛物线y=f(x)在平行线y=14y=14之间的部分(含边界),在x轴上的投影覆盖4个整点.因此应该从分析方程f(x)=14和方程f(x)=14的解入手.

   方程f(x)=14必然有两个不同实根,设为x1,x2,且x1>x2

第一种情况,方程f(x)=14没有根或有两个重根.

latex-image-4

此时b24aca0.抛物线在两条平行线间的部分在x轴上的投影为[x2,x1],因此x1x2=b24ac+aa3,b24ac+aa2aa,于是可得2aa3,从而a29

第二种情况,方程f(x)=14有两个不同实根.

latex-image-3

不妨设两根分别为x3,x4,且x3>x4,此时b24aca>0,且抛物线在两条平行线间的部分在x轴上的投影为[x2,x4][x3,x1],因此有{(x1x2)(x3x4)2,x1x23,{b24ac+a+b24aca1,b24ac9a2a,进而可得3a+9a22a1,解得29a14.

综上所述,有a14.接下来证明a可以取得14

我们可以尝试四个“近零点”分别为0,1,2,3,这样可以设f(x)=a(x32)2+h,{f(0)=94a+h=14,f(1)=14a+h=14,解得a=14h=516,如图.

latex-image-2

这样,我们就得到a的最大值为14

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复