每日一题[396]体积转化

如图，在三棱锥$O-ABC$中，三条棱$OA,OB,OC$两两垂直，且$OA>OB>OC$，分别经过三条棱$OA,OB,OC$作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1,S_2,S_3$的大小关系为_____．

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正确答案是$S_3<S_2<S_1$．

解　三棱锥通常都可以放入长方体中进行分析，因为三棱锥的三条棱两两垂直，所以可以直接放入以$OA,OB,OC$为同顶点的三条棱的长方体中．

先分析过棱$OA$的截面，此截面要平分三棱锥的体积，故它与平面$OBC$的交线平分$\triangle OBC$的面积，所以它就是长方体中包含$OA$的对角面$OAEF$在三棱锥内的部分，如下图，它的面积为此对角面$OAEF$面积的$\dfrac 14$．

故比较长方体的三个对角面面积即可，设

$$OA=a,OB=b,OC=c,$$ 则包含$OA$的对角面的面积为 $$4S_1=a\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{a^2b^2+a^2c^2},$$ 同理有 $$\begin{split} 4S_2&=b\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{a^2b^2+b^2c^2},\\4S_3&=c\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2c^2+b^2c^2},\end{split}$$ 因为$a>b>c$，所以有$S_1>S_2>S_3$．

注　本题为$2010$年高考数学江西卷理科第16题（填空压轴题），在解题过程中完全可以直接给$OA,OB,OC$进行赋值，比如$3,2,1$之后比较．